Bài tập 8, § 5

Ta dùng lại các ký hiệu của bài tập trước.

a) Ta ký hiệu bởi $T(\mathbf{S}_1)$ đại số con đóng của $\mathscr{L}(F)$ sinh bởi các toán tử Toeplitz $T_{e_1}$ và $T_{e_{-1}}$. Bây giờ chứng minh rằng $T(\mathbf{S}_1)$ là một đại số sao của $\mathscr{L}(F)$.

b) Cho $f\in \mathscr{C}(\mathbf{S}_1)$. Bây giờ chứng minh rằng $T_f$ thuộc về $T(\mathbf{S}_1)$.

c) Biểu diễn của $T(\mathbf{S}_1)$ trong F là bất khả quy; đại số sao $T(\mathbf{S}_1)$ chứa $\mathscr{L}^c(F)$. d) Ta có $u\in T(\mathbf{S}_1)$ khi và chỉ khi tồn tại $f\in \mathscr{C}(\mathbf{S}_1)$ và $h\in \mathscr{L}^c(F)$ sao cho $u= T_f+h$. (Bây giờ chứng minh rằng tập hợp các tự đồng cấu có dạng $T_f+h$ lập thành một đại số sao đóng trong $\mathscr{L}(F).$)

e) Tồn tại một dãy khớp các đồng cấu của các đại số có phép đối hợp

0 $\leftarrow \rightarrow \mathscr{L}^c(F)\leftarrow \rightarrow T(\mathbf{S}_1)\leftarrow_{\varrho}\rightarrow \mathscr{C}(\mathbf{S}_1)\leftarrow \rightarrow 0$

sao cho $\varrho (T_f) =f$ với mọi hàm $f\in \mathscr{C}(\mathbf{S}_1)$.