Exercice 8, § 5

On reprend les notations de l’exercice précédent.

a) On note $T(\mathbf{S}_1)$ la sous-algèbre fermée de $\mathscr{L}(F)$ engendrée par les opérateurs de Toeplitz $T_{e_1}$ et $T_{e_{-1}}$. Montrer que $T(\mathbf{S}_1)$ est une sous-algèbre stellaire de $\mathscr{L}(F)$.

b) Soit $f\in \mathscr{C}(\mathbf{S}_1)$. Montrer que $T_f$ appartient à $T(\mathbf{S}_1)$.

c) La représentation de $T(\mathbf{S}_1)$ dans F est irréductible ; l’algèbre stellaire $T(\mathbf{S}_1)$ contient $\mathscr{L}^c(F)$. d) On a $u\in T(\mathbf{S}_1)$ si et seulement s’il existe $f\in \mathscr{C}(\mathbf{S}_1)$ et $h\in \mathscr{L}^c(F)$ tels que $u= T_f+h$. (Montrer que l’ensemble des endomorphismes de la forme $T_f+h$ forme une algèbre stellaire fermée dans $\mathscr{L}(F).$)

e) Il existe une suite exacte de morphismes d’algèbres involutives

0 $\leftarrow \rightarrow \mathscr{L}^c(F)\leftarrow \rightarrow T(\mathbf{S}_1)\leftarrow_{\varrho}\rightarrow \mathscr{C}(\mathbf{S}_1)\leftarrow \rightarrow 0$

telle que $\varrho (T_f) =f$ pour toute fonction $f\in \mathscr{C}(\mathbf{S}_1)$.