Bài tập 20, § 6

Cho A là một ma trận vuông thực kiểu $(I,I)$, dương nhưng không nhất thiết bất khả quy; gọi $\varrho$ là bán kính phổ của A. Ta giữ lại các ký hiệu B(X) và C(X) của các bài tập trước.

a) Số thực $\varrho$ là một trị riêng của A và tồn tại ít nhất một vectơ riêng $\succcurlyeq 0$ liên kết với $\varrho$.

b) Với mọi số thực $\lambda \geqslant r$, các ma trận B$(\lambda )$ và $B'(\lambda )$ là dương. (Đối với ma trận thứ hai, có thể tiến hành quy nạp theo lực lượng của I.)

c) Ma trận C$(\lambda )$ là dương với mọi $\lambda \geqslant r$. d) Nếu A là bất khả quy, thì với mọi số thực $\lambda > r$, các ma trận B$(\lambda )$, C$(\lambda )$ và $(\lambda 1_I-A)^{-1}$ là dương ngặt.

e) Cho J là một tập con của I khác I. Gọi $\varrho_J$ là bán kính phổ của ma trận con $(a_{i,j})_{i,j\in J}$. Ta có $\varrho_J\leqslant \varrho$, và bất đẳng thức này là ngặt nếu A là bất khả quy. Ngược lại, nếu A khả quy, tồn tại một tập con $J\subset I$, khác I, sao cho $\varrho_J=\varrho$.

f) Cho J là một tập con của I khác I và sao cho bán kính phổ của ma trận con $(a_{i,j})_{i,j\in J}$ bằng $\varrho$. Với mọi tập con K sao cho $J\subset K\subset I$, bán kính phổ của ma trận $(a_{i,j})_{i,j\in K}$ bằng $\varrho$. Suy ra rằng $A\succ 0$ khi và chỉ khi tất cả các hệ số đường chéo của B$(r)$ đều dương ngặt.

g) Với mọi số thực $\lambda > \varrho$ và mọi tập con J của I sao cho $J\not = I$, định thức của ma trận $(\lambda \delta_{i,j}-a_{i,j})_{i,j\in J}$ là dương ngặt.

h) Cho $\lambda$ là một số thực; giả sử rằng định thức của $(\lambda \delta_{i,j}-a_{i,j})_{i,j\in J}$ là dương ngặt với mọi tập con $J\subset I$ khác I. Khi đó $\lambda > \varrho$.

Trong các câu hỏi sau, giả sử rằng I là khoảng $[1, n]$ của $\mathbf{N}$. i) Cho $(g_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ là một ma trận thực sao cho $g_{i,j}\leqslant 0$ với mọi $i\not =j$ và sao cho các định thức của các ma trận $(g_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant m}$ là dương ngặt với mọi số nguyên m sao cho $1\leqslant m\leqslant n$. Khi đó ta có det($g_{i,j}$)$_{i,j\in J}>0$ với mọi tập con J của I.

j) Cho $\lambda$ là một số thực; giả sử rằng với mọi số nguyên m sao cho $1\leqslant m\leqslant n$, định thức det($\lambda \delta_{i,j}-a_{i,j}$)$_{1\leqslant i,j\leqslant m}$ là dương ngặt. Khi đó $\lambda > \varrho$.

k) Cho C $= (c_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ là một ma trận thực sao cho $c_{i,j}\geqslant 0$ với mọi $i\not =j$. Nếu $(-1)^k$ det($c_{i,j}$)$_{1\leqslant i,j\leqslant m}$ là dương ngặt với mọi số nguyên m sao cho $1\leqslant m\leqslant n$, thì phần thực của các trị riêng của C (được xem như một ma trận phức) là âm.