Bài tập 3, § 6

Cho E là một không gian Hilbert phức. Cho U là một tập con mở liên thông của $\mathbf{C}$. Cho $f$ là một hàm chỉnh hình từ U vào không gian $\mathscr{L}^c(E)$. Giả sử rằng tồn tại $z\in U$ sao cho 1 thuộc tập giải của $f(z)$.

a) Tập hợp D gồm các $z\in U$ sao cho $1\in$ Sp($f(z)$) là một tập con rời rạc của U.

b) Ánh xạ từ U - D vào $\mathscr{L}(E)$ được xác định bởi $z\mapsto R(f(z),1)$ là chỉnh hình.

Ta cố định một điểm $z_0\in D$.

c) Tồn tại một số nguyên $k\geqslant 1$ sao cho ánh xạ từ U - D vào $\mathscr{L}(E)$ được xác định bởi $z\mapsto (z-z_0)^kR(f(z),1)$ mở rộng thành một ánh xạ chỉnh hình trên (U - $D$)$\cup \{z_0\}$.

d) Tồn tại một dãy duy nhất $(u_n)_{n\in\mathbf{N}}$ các tự đồng cấu của E sao cho $u_n= 0$ với $n$ đủ lớn và một hàm chỉnh hình duy nhất S từ (U- $D$)$\cup \{z_0\}$ vào $\mathscr{L}(E)$ sao cho với mọi $z\in U$ - D, ta có

e) Tự đồng cấu $u_{-1}$ là phép chiếu phổ của $f(z_0)$ tương ứng với tập con mở và đóng $\{1\}$ của phổ của $f(z_0)$.