Bài tập 16, § 2

Chúng ta giữ ký hiệu của bài tập trước, và giả sử rằng S và F là hữu hạn. Ta ký hiệu bởi $h_G$ hằng số Cheeger của đồ thị G, được định nghĩa bởi

Card(E(V$,S$ - V))

$h_G=$ inf,

$_{\emptyset\not=V\subset S}$ inf(Card(V), Card(S - V))

trong đó $E(V,W)$ ký hiệu tập hợp các mũi tên của G có một đầu thuộc V và một đầu thuộc W.

a) Ta có $\varrho (M_G) = 1$ và $\lambda = 1$ là một trị riêng của $M_G$ có bội số 1. Ta có $-1\in$ Sp(M$_G$) khi và chỉ khi G là hai phần (xem TA, II, p. 219, bài tập 2); trong trường hợp này, phổ của $M_G$ là bất biến đối với $\lambda \mapsto -\lambda$ và bội số phổ của $\lambda$ bằng bội số phổ của $-\lambda$ với mọi $\lambda \in \mathbf{C}$.

Ta ký hiệu bởi $L^2_0(S, \nu )$ phần bù trực giao trong $L^2_{\mathbf{C}}(S, \nu )$ của hợp các không gian riêng của $M_G$ tương ứng với các trị riêng 1 và $-1$. Tự đồng cấu $M_G$ cảm sinh, bằng cách chuyển qua các không gian con, một tự đồng cấu của $L^2_0(S, \nu )$, được ký hiệu bởi $M_{G,0}$. Ta có $\varrho (M_{G,0})<1$. Ta ký hiệu bởi $\lambda_1(G)$ trị riêng khác không nhỏ nhất của $1-M_G$

b) Đặt $v_+=$ sup $v(x)$ và $v_-=$ inf $v(x)$. Ta có

c) Cho $\varphi : S\rightarrow \mathbf{R}$ là một hàm không hằng trên S với các giá trị thực; đặt $m=$ inf$_{-1}\varphi (x)$ và M = sup $\varphi (x)$. Cho $t_0\in \mathbf{R}$ sao cho, với mọi $t\in \mathbf{R}$, tập hợp $W_t=\varphi (]- \infty , t_0[)$ thỏa mãn Card(W$_t$)$\leqslant$ Card(S)$/2$ khi và chỉ khi $t < t_0$. Cho $\nu$ là một độ đo khuếch tán (INT, V, p. 67, Def. 5) có giá đỡ trên $[m,M]$. Đặt

$(x,y)\in S^2$

$B =\sum_{x\in S}\nu ([t_0, \varphi (x)])$, trong đó, nếu $a < b$ là các số thực, ta viết $\nu ([b, a]) =\nu ([a, b])$. Tồn tại $t\in \mathbf{R}$ sao cho

Card(E(W$_t,S$ - $W_t$) A

inf(Card(W$_t$), Card(S - $W_t$)) B

d) Ta có

(Áp dụng câu hỏi trước với $\varphi$ là một hàm riêng của $M_G$ ứng với trị riêng $\lambda_1(G)$ và với một độ đo $\nu$ được chọn thích hợp.)

e) Một họ $(G_j)_{j\in J}$ các đồ thị hữu hạn $G_j= (S_j,F_j, o_j, t_j, i_j)$ được gọi là một họ các đồ thị mở rộng nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) Có Card(S$_j$)$\rightarrow +\infty$ đối với lọc các phần bù của các tập con hữu hạn của J;

(ii) Tồn tại $C\geqslant 0$ sao cho với mọi $j$ và mọi $x\in S_j$, bậc của $G_j$ tại $x$ là $\leqslant C$;

(iii) Tồn tại $\delta >0$ sao cho $h_{G_j}\geqslant \delta$ với mọi $j\in J$.

Bây giờ chứng minh rằng $(G_j)$ là một họ các đồ thị mở rộng khi và chỉ khi (i), (ii) được thỏa mãn, cũng như điều kiện

(iii’) Tồn tại $\delta >0$ sao cho $\lambda_1(G_j)\geqslant \delta$ với mọi $j\in J$.