a) Ánh xạ $p_i:f\mapsto f \varphi_i$ là một phép chiếu của $\mathscr{L}^p(X, \mu)$ và xác định, khi chuyển qua các thương, một phép chiếu $\widetilde{p}_i$ của $L^p(X, \mu)$. Phép chiếu sau là một phép chiếu trực giao của $L^2(X, \mu)$ nếu $p= 2$;

b) Ánh xạ $f\mapsto f|X_i$ cảm sinh một đẳng cấu đẳng cự từ ảnh của $p_i$ lên không gian $\mathscr{L}^p(X_i, \mu_i)$ và xác định, khi chuyển qua các thương, một đẳng cấu đẳng cự từ ảnh của $\widetilde{p}_i$ lên $L^p(X_i, \mu_i)$, qua đó hai không gian này được đồng nhất;

c) Tổng của các không gian $L^p(X_i, \mu_i)$ là trù mật trong không gian $L^p(X, \mu)$. Trong trường hợp $p= 2$, không gian $L^2(X, \mu)$ là tổng Hilbert của các không gian $L^2(X_i, \mu_i)$.

Mệnh đề a) là sơ cấp. Mệnh đề b) suy ra từ chú giải của INT, V, p. 84, § 7, n$^o1$.

Cho $q\in ]1,+\infty ]$ là số mũ liên hợp của $p$. Ta đồng nhất đối ngẫu của $L^p(X, \mu)$ với $L^q(X, \mu)$ (INT, V, p. 61, § 5, n$^o8$, th. 4). Gọi $f$ là một hàm trong $\mathscr{L}^q(X, \mu)$ mà lớp $\widetilde{f}$ của nó trong $L^q(X, \mu)$ thỏa mãn $\langle \widetilde{f} ,\widetilde{p}_i(\varphi )\rangle = 0$ với mọi $i\in I$ và mọi $\varphi \in L^p(X, \mu)$. Vì ảnh của $p_i$ chứa $\mathscr{K}(X_i)$, suy ra độ đo $(f|X_i)\cdot \mu_i$ trên $X_i$ bằng không, điều đó có nghĩa là hạn chế của $f$ trên $X_i$ là địa phương không đáng kể đối với $\mu_i$ trên $X_i$ (INT, V, p. 46, § 5, n$^o3$, hệ quả 2). Vì phần bù trong X của hợp các $X_i$ là địa phương không đáng kể đối với $\mu$, ta kết luận rằng hàm $f$ là địa phương không đáng kể đối với $\mu$ trên X (INT, IV, p. 190, § 5, n$^o9$ and p. 172, n$^o2$, mệnh đề 5). Khi đó lớp của $f$ bằng không trong $L^q(X, \mu)$ (dùng INT, V, p. 8, § 1, n$^o3$, bổ đề 1 và hệ quả của mệnh đề 9 khi $p\not = 1$). Theo định lý Hahn–Banach (EVT, II, p. 46, hệ quả 1), phần thứ nhất của mệnh đề c) suy ra.

Nếu $p= 2$, ảnh của $p_i$ trực giao với ảnh của $p_j$ với mọi $i\not =j$, vì khi đó $X_i$ và $X_j$ rời nhau, do đó có khẳng định cuối cùng.

Gọi $(U_n)_{n\in\mathbf{N}}$ là một dãy các tập con mở tương đối compact của X mà hợp của chúng bằng X và thỏa mãn $U_n\subset U_{n+1}$ với mọi $n\in \mathbf{N}$ (TG, I, p. 68, mệnh đề 15). Với mọi $n\in \mathbf{N}$, không gian $\mathscr{K}(X,\overline{U}_n)$ được đồng nhất với một không gian con đóng của không gian Banach $\mathscr{C}(U_n)$ (INT, III, p. 40, § 1, n$^o1$); vì không gian sau này thuộc kiểu đếm được (TG, X, p. 25, hệ quả), điều tương tự cũng đúng với $\mathscr{K}(X,\overline{U}_n)$ (TG, IX, p. 19, hệ quả, (i)). Gọi $\mathscr{F}_n$ là một tập con đếm được trù mật của $\mathscr{K}(X,\overline{U}_n)$.

Cho $f\in \mathscr{L}^p(X, \mu)$ và $\varepsilon >0$. Tồn tại một số nguyên $n\in \mathbf{N}$ sao cho $\int_{X-U_n}|f|^p< \varepsilon /2$, và tồn tại $g\in \mathscr{F}_n$ sao cho $\int_{\overline{U}_n}|f-g|^p< \varepsilon /2$. Vậy hợp các lớp trong $L^p(X, \mu)$ của các phần tử của các tập $\mathscr{F}_n$ là trù mật trong $L^p(X, \mu)$, điều này kết thúc chứng minh (TG, IX, p. 18, prop. 12).

Đặt $Z =\overset{-1}{g}(Y$ - S) là tập hợp đang xét.

Trước hết giả sử rằng X compact và $g$ liên tục. Trong trường hợp này, độ đo ảnh $g(\mu)$ được xác định (INT, V, p. 69, § 6, n$^o1$, định nghĩa 1) vì $\mu$ là một độ đo bị chặn. Từ các định nghĩa suy ra rằng ảnh cốt yếu theo $\mu$ của $g$ là giá của độ đo $g(\mu) ($xem INT, V, p. 70, § 6, n$^o2$, hệ quả 2), do đó $\mu(Z) =g(\mu)(Y$ - S) = 0 (INT, IV, p. 118, § 2, n$^o2$, mệnh đề 5).

Bây giờ xét trường hợp tổng quát. Cho C là một tập con compact của X, và cho $\varepsilon >0$ là một số thực. Vì $g$ đo được, tồn tại một tập con compact $C_1\subset C$ sao cho $\mu(C$- $C_1)\leqslant \varepsilon$ và sao cho $g|C_1$ liên tục (INT, IV, p. 169, § 5, n$^o1$, mệnh đề 1). Khi đó ta có

$\mu(Z\cap C)\leqslant \mu(C$ - $C_1) +\mu(Z\cap C_1)\leqslant \varepsilon +\mu(Z\cap C_1)$.

Cho $\mu_1$ là độ đo cảm sinh bởi $\mu$ trên $C_1$ (INT, IV, p. 186, § 5, n$^o7$, định nghĩa 4). Cho $S_1$ là ảnh cốt yếu theo $\mu_1$ của $g|C_1$. Ta có $Z\cap C_1\subset$ $(g|C_1)^{-1}(Y$ - $S_1)$. Theo trường hợp thứ nhất, do đó tập $Z\cap C_1$ là $\mu_1$-không đáng kể, và do đó $\mu$-không đáng kể (INT, IV, p. 187, § 5, n$^o7$, bổ đề 2, (i)). Bất đẳng thức trên trở thành $\mu(Z\cap C)\leqslant \varepsilon$; vì $\varepsilon$ và C là tùy ý, tập Z là địa phương $\mu$-không đáng kể (INT, IV, p. 172, § 5, n$^o2$, mệnh đề 5).

Gọi Y là giá của $\mu$. Nếu $z\in \mathbf{C}$ không dính với $g$(Y), thì tồn tại một lân cận mở U của $z$ sao cho tập mở $\overset{-1}{g}(U)$ không gặp Y và do đó địa phương $\mu$-không đáng kể; điều này có nghĩa là $z$ không thuộc ảnh $\mu$-cốt yếu của $g$.

Ngược lại, nếu $z\in \mathbf{C}$ dính với $g$(Y), thì với mọi lân cận mở U của $z$, tập $\overset{-1}{g}(U)$ là một tập mở trong X mà gặp Y. Vậy nó không $\mu$-không đáng kể, và vì nó là mở, nó không địa phương $\mu$-không đáng kể (INT, IV, p. 172, § 5, n$^o2$, Hệ quả 2). Do đó $z$ thuộc ảnh $\mu$-cốt yếu của $g$.

Đặt $h(x) = 1/g(x)$ nếu $g(x)\not = 0$ và $h(x) = 0$ trong trường hợp ngược lại. Hàm $h$ thuộc $\mathscr{L}^{\infty}(X, \mu)$. Gọi $\widetilde{h}$ là lớp của $h$ trong $L^{\infty}(X, \mu)$. Khi đó ta có công thức $\delta^{-1}=\|\widetilde{h}\|_{\infty}$.

Lấy U là một lân cận mở của 0 sao cho tập mở $Z =\overset{-1}{g}(U)$ là địa phương $\mu$-không đáng kể, do đó không đáng kể (INT, IV, p. 172, § 5, n$^o2$, Hệ quả 2). Gọi Y là giá của $\mu$; ta có $Y\subset X$ - Z. Hạn chế của hàm $h$ lên X - Z là liên tục và bị chặn; do đó $h\in \mathscr{L}^{\infty}(X, \mu)$ và chuẩn của $\widetilde{h}$ trong $\mathscr{L}^{\infty}(X, \mu)$ bằng chuẩn của hạn chế của nó lên X - Z. Hơn nữa, với mọi $\alpha \in \mathbf{R}_+$, tập các $x\in X$ - Z sao cho $|h(x)|> \alpha$ là một tập mở trong X - Z; do đó nó địa phương $\mu$-không đáng kể khi và chỉ khi nó không gặp Y (INT, IV, loc. cit. and INT, III, p. 66, § 3, n$^o2$, Def. 1). Do đó, ta có

$\|\widetilde{h}\|_{\infty}=$ sup$_{x\in Y}\frac{1}{|g(x)|}$,

do đó

$\|\widetilde{h}1\|=$ inf$_{\infty x\in Y}|g(x)|=$ inf$_{\lambda\in g(Y)}|\lambda |=$ inf$_{\lambda\in\overline{g(Y)}}|\lambda |$

và lượng này bằng $\delta$ theo bổ đề trước.

Cho $\mu$ là một độ đo dương có giá compact trên X và C là giá của nó. Hạn chế của $f$ trên C là $(\mu|$C)-thực sự. Ánh xạ $g$ là đo được đối với độ đo ảnh $(f|C)(\mu|C)$, do đó ánh xạ $(g\circ f)|C =g\circ (f|C)$ là $(\mu|$C)-measurable. Do đó, ánh xạ $g\circ f$ là $\mu$-đo được. Bổ đề được chứng minh.

Ta ký hiệu bởi $\mathscr{L}_u(X)$ không gian vectơ các hàm giá trị phức đo được phổ dụng trên X, và bởi $\mathscr{L}_u^{\infty}(X)$ không gian con các hàm $f\in \mathscr{L}_u(X)$ bị chặn trên X. Với $f\in \mathscr{L}_u^{\infty}$(X), ta đặt $\|f\|_{\infty}=$ sup$_{x\in X}|f(x)|$.

b) Tập hợp $\mathscr{L}_u^{\infty}(X)$ là một đại số con của $\mathscr{L}_u(X)$ và ánh xạ được xác định bởi $f\mapsto \|f\|_{\infty}$ là một chuẩn trên $\mathscr{L}_u^{\infty}(X)$ đối với đó $\mathscr{L}_u^{\infty}(X)$ là một đại số stellar có đơn vị;

c) Đại số $\mathscr{L}_u(X)$ chứa $\mathscr{C}(X)$ và $\mathscr{L}_u^{\infty}(X)$ chứa $\mathscr{C}_b(X)$;

d) Mọi hàm Borel từ X vào $\mathbf{C}$ (TG, IX, p. 61, def. 5) đều thuộc $\mathscr{L}_u(X)$;

e) Với mọi dãy $(f_n)_{n\in\mathbf{N}}$ trong $\mathscr{L}_u(X)$ hội tụ đơn giản tới một hàm $f$ từ X vào $\mathbf{C}$, ta có $f\in \mathscr{L}_u(X)$.

Các mệnh đề a) và c) suy ra từ các định nghĩa (x. INT, IV, p. 175, § 5, No$^o3$, cor. 3). Mệnh đề d) là một hệ quả của INT, IV, p. 179, § 5, No$^o5$, th. 4, vì ảnh ngược qua một hàm Borel của mọi tập con Borel của $\mathbf{C}$ là một tập con Borel của X, mà tập này đo được phổ dụng (INT, V, p. 28, § 3, No$^o4$). Cuối cùng, mệnh đề e) suy ra từ định lý Egoroff (INT, IV, p. 175, § 5, No$^o4$, th. 2).

Để chứng minh mệnh đề b), chỉ cần nhận xét rằng e) kéo theo, a fortiori, rằng một giới hạn đều của các hàm đo được phổ dụng là đo được phổ dụng.

Có thể tồn tại các hàm đo được phổ dụng trên X mà không phải là Borel. Thật vậy, nếu X là khả mêtric, hàm đặc số của một tập con Souslin của X là đo được phổ dụng (x. INT, IV, p. 171, § 5, No$^o1$, cor. 2); mà trong mọi không gian Polish không đếm được, tồn tại một tập con Souslin không phải là Borel ("định lý Souslin"; điều này suy ra từ TG, IX, p. 120, bài tập 8 và từ sự kiện rằng với mọi không gian Polish không đếm được X, tồn tại một song ánh Borel $X\rightarrow \mathbf{N}^{\mathbf{N}}$ mà nghịch đảo của nó là Borel).

Cho $x\in X$ và cho U là một lân cận mở tương đối compắc của $x$. Tập N = U - $(U\cap \overset{-1}{g}(S))$ là không đáng kể đối với $(\mu|$U). Với mọi số nguyên $n\geqslant 1$, cho $V_n$ là một tập mở sao cho $N\subset V_n\subset U$ và $\mu(V_n-N)<1/n$ (INT, IV, p. 116, § 1, n$^o4$, mđ. 19).

Hạn chế $\widetilde{g}$ của $g$ lên U- $V_n$ là thực sự đối với $\mu|(U$- $V_n$), và ảnh của nó được chứa trong S. Vì $f$ là đo được phổ dụng, ánh xạ $x\mapsto f(g(x))$ từ U - $V_n$ vào $\mathbf{C}$ là đo được đối với độ đo $\mu|(U$ - $V_n)$ (INT, V, p. 71, § 6, n$^o2$, mđ. 3). Do đó ánh xạ $h_n$ từ X vào $\mathbf{C}$ sao cho $h_n(x) = 0$ nếu $x \notin U$ - $V_n$ và $h_n(x) =f(g(x))$ nếu $x\in U$ - $V_n$ là $\mu$-đo được (INT, IV, p. 193, § 5, n$^o10$, mđ. 16).

Vì $h_n(x)\rightarrow h(x)$ với $\mu$-hầu khắp mọi $x\in U$, hạn chế của $h$ lên U là $\mu$-đo được (INT, IV, p. 175, § 5, n$^o4$, đl. 2). Suy ra $h$ là $\mu$-đo được theo nguyên lý địa phương hoá (INT, IV, p. 171, § 4, n$^o2$, mđ. 4).

Ký hiệu bởi $\widetilde{g}$ lớp của $g$ trong $L^{\infty}(X, \mu)$ và bởi S ảnh $\mu$-cốt yếu của $g$. Cho $z\in \mathbf{C}-$ S. Theo định nghĩa, tồn tại một lân cận mở U của $z$ sao cho $Y =\overset{-1}{g}(U)$ là cục bộ $\mu$-không đáng kể. Hàm $h$ được xác định bởi $h(x) = (g(x)-z)^{-1}$ nếu $x \notin Y$, và $h(x) = 0$ nếu $x\in Y$, khi đó thuộc $\mathscr{L}^{\infty}(X, \mu)$. Lớp của nó $\widetilde{h}$ trong $L^{\infty}(X, \mu)$ thỏa mãn $(\widetilde{g}-z)\widetilde{h}= 1$, vì $(g(x)-z)h(x) = 1$ với mọi $x$ không thuộc tập cục bộ $\mu$-không đáng kể Y. Do đó $z\in \mathbf{C}-$ Sp($\widetilde{g}$).

Ngược lại, giả sử $z\in \mathbf{C}-$ Sp($\widetilde{g}$). Gọi $h\in \mathscr{L}^{\infty}(X, \mu)$ là một hàm mà lớp của nó là nghịch đảo của $\widetilde{g}-z$ trong $L^{\infty}(X, \mu)$. Tồn tại một số thực $M>0$ sao cho $|h(x)|\leqslant M$ địa phương $\mu$-hầu khắp nơi, và hơn nữa ta có $(g(x)-z)h(x) = 1$ địa phương $\mu$-hầu khắp nơi. Gọi U là quả cầu mở tâm $z$ và bán kính $M^{-1}$ trong $\mathbf{C}$; khi đó $\overset{-1}{g}(U)$ được chứa trong tập địa phương $\mu$-không đáng kể

vì thế $z\in \mathbf{C}-$ S. Bổ đề được chứng minh.

Cho $f\in \mathscr{C}(S)$. Hàm $h=f\circ g$ là $\mu$-đo được (Bổ đề 5 của IV, p. 184) và bị chặn. Ký hiệu $f\widetilde{\circ}g$ là lớp của nó trong $L^{\infty}(X, \mu)$. Ánh xạ $f\mapsto f\widetilde{\circ}g$ là một cấu xạ liên tục của các đại số đối hợp có đơn vị từ $\mathscr{C}(S)$ vào $L^{\infty}(X, \mu)$. Vì $g(x)$ thuộc S địa phương $\mu$-hầu khắp nơi (Bổ đề 1 của IV, p. 181 và Bổ đề 6), cấu xạ này liên kết với ánh xạ đồng nhất của S lớp $\widetilde{g}$ của hàm $g$. Vậy nên nó trùng với ánh xạ phép tính phiếm hàm của $\widetilde{g}$ (Mệnh đề 7 của I, p. 111).

Gọi A là tập hợp các $x\in X$ sao cho $g(x) = 0$.

Giả sử rằng A là địa phương $\mu$-không đáng kể. Cho $f\in \mathscr{L}^p(X, \mu)$ và $\widetilde{f}$ là lớp của nó trong $L^p(X, \mu)$. Giả sử rằng $\widetilde{m}_g(\widetilde{f}) = 0$. Theo định nghĩa, điều này xảy ra nếu và chỉ nếu hàm $f g$ là $\mu$-không đáng kể, nên tập hợp B các $x\in X$ sao cho $f(x)g(x)\not = 0$ là $\mu$-không đáng kể. Hàm $f$ bằng không ở ngoài $A\cup B$, do đó là $\mu$-không đáng kể. Điều này suy ra rằng tự đồng cấu $\widetilde{m}_g$ là đơn ánh.

Ngược lại, giả sử rằng A không địa phương $\mu$-không đáng kể. Cho C là một tập con compắc của X sao cho $A\cap C$ không $\mu$-không đáng kể, và gọi $\varphi$ là hàm đặc số của $A\cap C$. Lớp của hàm $\varphi$ trong $L^p(X, \mu)$ khác không, nhưng lớp của $m_g(\varphi )$ thì bằng không, do đó $m_g$ không đơn ánh.

Vì tích của một hàm địa phương $\mu$-không đáng kể và một hàm $\mu$-không đáng kể là $\mu$-không đáng kể, tự đồng cấu $\widetilde{m}_g$ chỉ phụ thuộc vào lớp của $g$ trong $L^{\infty}(X, \mu)$. Với $\widetilde{g}\in L^{\infty}(X, \mu)$, người ta cũng ký hiệu bởi $\widetilde{m}_g$ tự đồng cấu $\widetilde{m}_g$ của $L^p(X, \mu)$ đối với mọi hàm $g\in \mathscr{L}^{\infty}(X, \mu\widetilde{)}$ có lớp là $\widetilde{g}$. Người ta nói rằng $\widetilde{m}_g$ là tự đồng cấu phép nhân bởi $\widetilde{g}$ trong $L^p(X, \mu)$.

Với $a,b$ trong $\mathbf{C}$ và $g_1,g_2$ trong $L^{\infty}(X, \mu)$, ta kiểm tra ngay được rằng $\widetilde{m}_{ag_1+bg_2}=a\widetilde{m}g_1+b\widetilde{m}_{g_2}$, do đó ánh xạ $\widetilde{m}$ là tuyến tính. Hơn nữa, ta có $\widetilde{m}_1= 1_{L^p(X,\mu)}$ và $\widetilde{m}_{g_1g_2}=\widetilde{m}_{g_1}\widetilde{m}_{g_2}$, do đó ánh xạ $\widetilde{m}$ là một cấu xạ đại số có đơn vị từ $L^{\infty}(X, \mu)$ vào $\mathscr{L}(L^p(X, \mu))$.

Công thức (1) ở trên chứng minh rằng $\widetilde{m}$ có chuẩn $\leqslant 1$.

Cho $g\in \mathscr{L}^{\infty}(X, \mu)$ và $\widetilde{g}$ là lớp của nó trong $L^{\infty}(X, \mu)$. Cho $\varepsilon >$ 0. Tập hợp Y gồm các $x\in X$ sao cho $|g(x)|>\|\widetilde{g}\|_{\infty}-\varepsilon$ không phải là địa phương $\mu$-không đáng kể. Do đó tồn tại một tập con compact C của X sao cho $\mu(Y\cap C)>0$. Gọi $\varphi$ là hàm đặc trưng của $Y\cap C$. Vì

suy ra $\|\widetilde{m}_{\widetilde{g}}\|\geqslant \|\widetilde{g}\|_{\infty}-\varepsilon$. Vì $\varepsilon$ là tùy ý, suy ra $\|\widetilde{m}_{\widetilde{g}}\|\geqslant \|\widetilde{g}\|_{\infty}$, điều này chứng minh rằng $\widetilde{m}$ là đẳng cự.

Cho $f\in \mathscr{L}^p(X, \mu)$. Dãy $(g_nf)$ bị chặn trong $\mathscr{L}^p(X, \mu)$ và hội tụ từng điểm $\mu$-hầu khắp nơi đến $gf$. Theo định lý của Lebesgue (INT, IV, p. 137, § 3, n$^o7$, th. 6), dãy $(g_nf)$ hội tụ đến $gf$ trong $\mathscr{L}^p(X, \mu)$, và mệnh đề được suy ra.

Bây giờ ta sẽ xét trường hợp $p= 2$.

Đặc biệt, với mọi $g\in L^{\infty}(X, \mu)$, tự đồng cấu phép nhân $\widetilde{m}_g$ là chuẩn tắc; nó là Hermit khi và chỉ khi $g$ nhận giá trị thực địa phương $\mu$-hầu khắp nơi.

Theo Mệnh đề 5, ánh xạ $\widetilde{m}$ là một cấu xạ đơn ánh đẳng cự của các đại số Banach có đơn vị từ $L^{\infty}(X, \mu)$ vào $\mathscr{L}(L^2(X, \mu))$. Cho $g\in \mathscr{L}^{\infty}(X, \mu)$. Với $f_1$ và $f_2\in \mathscr{L}^2(X, \mu)$, ta có

do đó suy ra $\widetilde{m}^*_g=\widetilde{m}_{\overline{g}}$, điều này chứng minh rằng $m$ là một cấu xạ đối hợp. Các khẳng định cuối cùng suy ra từ đó (x. I, p. 106, Mệnh đề 5).

a) phổ của $\widetilde{m}_g$ trong $\mathscr{L}(L^2(X, \mu))$ là ảnh μ-cốt yếu của $g$;

b) tự đồng cấu $\widetilde{m}_g$ là dương khi và chỉ khi $g$ có các giá trị dương địa phương μ-hầu khắp nơi;

c) với mọi hàm $f\in \mathscr{C}$ (Sp($\widetilde{m}_g$)), ta có $f(\widetilde{m}_g) =\widetilde{m}_{f\circ g}$.

Vì $\widetilde{m}$ là đơn ánh, ta có Sp($\widetilde{m}_g$) $=$ Sp($g$) theo Mệnh đề 5 của I, p. 106; khi đó kết quả suy ra từ Bổ đề 6 của IV, p. 185, từ Mệnh đề 4 của IV, p. 185 và từ Định nghĩa 6 của I, p. 115.

Chỉ cần chứng minh rằng nếu $u\in \mathscr{L}(L^2(X, \mu))$ là một tự đồng cấu giao hoán với $\widetilde{m}_g$ với mọi hàm $g\in \mathscr{L}^{\infty}(X, \mu)$, thì $u$ thuộc ảnh của $\widetilde{m}$. Cho $u$ là một tự đồng cấu như vậy.

Ta ký hiệu bởi $\widetilde{f}$ lớp trong $L^2(X, \mu)$ của một hàm $f\in \mathscr{L}^2(X, \mu)$. Ký hiệu $v$ là ánh xạ tuyến tính từ $\mathscr{L}^2(X, \mu)$ vào $L^2(X, \mu)$ được xác định bởi $f\mapsto u(\widetilde{f})$. Ta có $v\circ m_g=\widetilde{m}_g\circ v$ với mọi $g\in \mathscr{L}^{\infty}(X, \mu)$.

Với mọi tập con μ-đo được Y của X, ký hiệu $\varphi_Y$ là hàm đặc trưng của nó; tự đồng cấu $\widetilde{m}_{\varphi_Y}$ là một phép chiếu trực giao của $L^2(X, \mu)$.

Trước hết giả sử rằng X là compac, để lớp của hàm hằng 1 thuộc $L^2(X, \mu)$. Cho $g$ là một hàm trong $\mathscr{L}^2(X, \mu)$ mà lớp của nó trong $L^2(X, \mu)$ là $v(1)$.

Cho $c$ là một số thực dương và Y là tập các $x\in X$ sao cho $|g(x)|\geqslant c$; đó là một tập μ-đo được. Ta có trong $L^2(X, \mu)$ các đẳng thức $\varphi_{\widetilde{Y}}g=\widetilde{m}_{\varphi_Y}(v(1)) =v(m_{\varphi_Y}(1)) =v(\varphi_Y)$.

Hơn nữa, vì $|c\varphi_Y|\leqslant |g\varphi_Y|$, ta được

Bất đẳng thức này kéo theo $\mu(Y) = 0$ nếu $c >\|u\|$, do đó hàm $g$ bị chặn μ-hầu khắp nơi bởi $\|u\|$. Cuối cùng, với mọi hàm $f\in \mathscr{C}$(X), ta có

do đó có đẳng thức $u=\widetilde{m}_g$, và đặc biệt $N_{\infty}(g) =\|u\|$.

Xét bây giờ trường hợp tổng quát. Tồn tại một họ đếm được địa phương $(X_i)_{i\in I}$ các tập con compac rời nhau từng đôi một của X sao cho Z = X $-\bigcup_{i\in I}X_i$ là địa phương $\mu$-không đáng kể (INT, IV, p .190, § 5, n$^o9$, prop. 14). Ký hiệu $\mu_i$ là độ đo cảm sinh bởi $\mu$ trên $X_i$ (INT, IV, p. 186, § 5, n$^o7$, def. 4).

Theo prop. 1 của IV, p. 179, với mọi $i\in I$, ảnh $E_i$ của $\widetilde{m}_{\varphi_{Xi}}$ được đồng nhất với $L^2(X_i, \mu_i)$ bởi $f\mapsto f|X_i$. Với mọi hàm $g\in \mathscr{L}^{\infty}(X, \mu)$, tự đồng cấu phép nhân $\widetilde{m}_g$ giao hoán với $\widetilde{m}_{\varphi_{Xi}}$, do đó để $E_i$ ổn định, và tự đồng cấu của $E_i$ suy ra từ $\widetilde{m}_g$ bằng cách chuyển qua các không gian con trùng với tự đồng cấu phép nhân bởi $g|X_i$ trên $L^2(X_i, \mu_i)$.

Vì $u$ giao hoán với $m_{\varphi_{Xi}}$, nó cũng để không gian con $E_i$ ổn định. Ký hiệu $u_i$ là tự đồng cấu của $L^2(X_i, \mu_i)$ suy ra từ $u$ bằng cách chuyển qua các không gian con.

Ánh xạ từ $\mathscr{L}^{\infty}(X, \mu)$ vào $\mathscr{L}^{\infty}(X_i, \mu_i)$ xác định bởi $g\mapsto g|X_i$ là toàn ánh, nên giả thiết kéo theo rằng $u_i$ giao hoán với $\widetilde{m}_g$ với mọi hàm $g\in \mathscr{L}^{\infty}(X_i, \mu_i)$. Theo phần đầu của chứng minh, tồn tại một hàm $g_i\in \mathscr{L}^{\infty}(X_i, \mu_i)$ sao cho $u_i=\widetilde{m}_{g_i}$ và $N_{\infty}(g_i)\leqslant \|u_i\|\leqslant \|u\|$.

Hàm $g$ trên X trùng với $g_i$ trên $X_i$ và bằng không trên Z là bị chặn và $\mu$-đo được (INT, IV, p. 193, § 5, n$^o10$, prop. 16), do đó $g\in \mathscr{L}^{\infty}(X, \mu)$. Với mọi $i\in I$, hạn chế của $u$ lên $E_i$ trùng với hạn chế của $\widetilde{m}_g$; vì vậy ta có $u=m_g$ theo prop. 1, c) của IV, p. 179.