a) Cho K là một tập con compact của U và V là một lân cận mở của K trong U. Tồn tại một hàm $\varphi \in \mathscr{C}^{\infty}(U)$ có giá compact được chứa trong V sao cho $0\leqslant \varphi \leqslant 1$ và sao cho $\varphi (x) = 1$ với mọi $x\in K$;

b) Với mọi phủ mở hữu hạn địa phương của U, tồn tại một phân hoạch đơn vị gồm các hàm thuộc lớp $C^{\infty}$ phụ thuộc vào nó.

Điều này suy ra từ VAR, R1, p. 40, 5.3.6.

Ánh xạ $h$ là hợp thành của ánh xạ $(f, g) : U\rightarrow E\times F$, thuộc lớp $C^k$, và của ánh xạ $b: E\times F\rightarrow G$ thuộc lớp $C^{\infty}$. Do đó nó thuộc lớp $C^k$. Biểu thức các đạo hàm riêng của nó suy ra từ công thức Leibniz (FVR, I, p. 28, mệnh đề 2, cf. A, III, p. 122, hệ quả).

Ta nhắc lại rằng một không gian vectơ tôpô lồi địa phương tách được là một không gian Montel nếu nó bị chặn-thùng và nếu mọi tập bị chặn đều compact tương đối (EVT, IV, p. 18, đn. 4).

Ta cũng nhắc lại rằng nếu E và F là các không gian lồi địa phương, và nếu E là bornological (EVT, III, p. 12, đn. 1), thì một ánh xạ tuyến tính $u: E\rightarrow F$ là liên tục khi và chỉ khi ảnh qua $u$ của mọi tập con bị chặn của E đều bị chặn trong F (EVT, III, p. 11, mệnh đề 1, (iiibis), khi F là nửa chuẩn, trường hợp tổng quát suy ra hình thức từ điều này, cf. EVT, II, p. 7, mệnh đề 5, b)).

(i) Với mọi $t\in I$, ánh xạ $x\mapsto f(x, t)$ từ X vào E là $\nu$-khả tích;

(ii) Với mọi $x\in X$, ánh xạ $t\mapsto f(x, t)$ từ I vào E có đạo hàm, được ký hiệu bởi $t\mapsto f'(x, t)$;

(iii) Tồn tại một hàm dương $\nu$-khả tích $g$ trên X sao cho $\|f'(x, t)\|\leqslant g(x)$ với mọi $(x, t)\in X\times I$.

Khi đó ánh xạ F từ I vào E được xác định bởi

là khả vi trên I, và với mọi $t\in I$, ta có

Cho $t_0\in I$ và gọi J là một khoảng của $\mathbf{R}$ được chứa trong I và là một lân cận của $t_0$ trong I. Gọi $h: X\times J\rightarrow E$ là ánh xạ được xác định bởi $(x, t)\mapsto (f(x, t)-f(x, t_0))/(t-t_0)$ với $(x, t)\in X\times (J-\{t_0\})$ và $(x, t_0)\mapsto f'(x, t_0)$ với $x\in X$. Cho $x\in X$. Ta có $\|h(x, t_0)\|\leqslant g(x)$ và, với mọi $t\not =t_0$, ta có $\|h(x, t)\|\leqslant g(x)$ theo FVR, I, p. 23, định lý 2. Theo định nghĩa của đạo hàm, mệnh đề suy ra từ hệ quả 1 của INT, IV, p. 144, § 4, n$^o3$, áp dụng cho ánh xạ $h$.

Ta lấy lại ký hiệu của VAR, R1, 2.4, p. 19 liên quan đến các đạo hàm riêng.

(i) Với mọi $t\in U$, ánh xạ $x\mapsto f(x, t)$ từ X vào E là $\nu$-khả tích;

(ii) Với mọi $x\in X$, ánh xạ $t\mapsto f(x, t)$ từ U vào E thuộc lớp $C^k$, với các đạo hàm riêng được ký hiệu bởi $\partial^{\alpha}f(x, t)$ với mọi $\alpha \in \mathbf{N}^n$ sao cho $|\alpha |\leqslant k$;

(iii) Tồn tại một hàm $\nu$-khả tích $g$ trên X sao cho với mọi $\alpha \in \mathbf{N}^n$ thỏa mãn $|\alpha |\leqslant k$ và với mọi $(x, t)\in X\times U$, ta có $\|\partial^{\alpha}f(x, t)\|\leqslant g(x)$.

Khi đó ánh xạ F từ U vào E được xác định bởi

thuộc lớp $C^k$ trên U, và với mọi $\alpha \in \mathbf{N}^n$ thỏa mãn $|\alpha |\leqslant k$ và mọi $t\in U$, ta có

Điều này suy ra từ mệnh đề bằng quy nạp theo $k$.

Có thể áp dụng hệ quả 1 cho không gian $X =\mathbf{R}^n$, cho độ đo Lebesgue và cho ánh xạ $h$ được xác định bởi $(x, t)\mapsto f(x)g(t-x)$ từ $\mathbf{R}^n\times \mathbf{R}^n$ vào $\mathbf{C}$; thật vậy, với mọi $\alpha \in \mathbf{N}^n$ sao cho $|\alpha |\leqslant k$, ta có bất đẳng thức

$|\partial^{\alpha}h(x, t)|\leqslant ($sup$_{|\beta|\leqslant k}$ sup$_{y\in\mathbf{R}^n}|\partial^{\beta}g(y)|)|f(x)|$

mà vế phải là một hàm khả tích trên $\mathbf{R}^n$.

a) Hàm $(1 + N)^r$ thuộc $\mathscr{L}^p(\mathbf{R}^n, \mu)$ khi và chỉ khi $rp <-n$;

a$')$ Hạn chế lên $\mathbf{Z}^n$ của hàm $(1 + N)^r$ thuộc $\ell^p(\mathbf{Z}^n)$ khi và chỉ khi $rp <-n$;

b) Cho V là một lân cận đo được bị chặn của 0 trong $\mathbf{R}^n$. Hàm $N^r$ thuộc $\mathscr{L}^p(\mathbf{R}^n-V, \mu)$ khi và chỉ khi $rp <-n$.

Do tính tương đương của các chuẩn trên $\mathbf{R}^n$ (EVT I, p. 14, định lý 2 và TG, IX, p. 32, mệnh đề 8), ta có thể giả sử rằng chuẩn N được cho bởi $N(x) =$ sup$|x_i|$ với $x= (x_i)\in \mathbf{R}^n$. Ký hiệu B là quả cầu đơn vị của $\mathbf{R}^n$ đối với chuẩn này.

Cho V là một lân cận đo được bị chặn của 0 trong $\mathbf{R}^n$. Hàm $N^r$ liên tục và bị chặn trên (B- $V$)$\cup (V$- B), điều này cho thấy mệnh đề b) đúng khi và chỉ khi nó đúng với V = B, điều mà từ nay ta sẽ giả sử. Vì hàm $(1 + N)^r$ liên tục và bị chặn trên B, và thỏa mãn các bất đẳng thức $N^r\leqslant (1 + N)^r\leqslant 2^rN^r$ trên $\mathbf{R}^n-$ B, ta thấy rằng các mệnh đề a) và b) là tương đương.

Hãy chứng minh b) khi V = B. Ta có thể giả sử rằng $p= 1$. Vì trường hợp $r >0$ là sơ cấp, giả sử rằng $r\leqslant 0$. Với mọi số nguyên $j\geqslant 1$, tập hợp

có độ đo bằng $2^{nj}(2^n-1)$. Các tập hợp $(C_j)_{j\geqslant 1}$ tạo thành một phân hoạch của $\mathbf{R}^n-$ B. Theo INT, V, p. 4, § 1, No.$^o1$, hệ quả, do đó ta có

$\mathbf{R}^{n-}Bj\geqslant 1C_j$

$\leqslant \sum_{j\geqslant 1}2^{n+nj}2^{r(j-1)}= 2^{n-r}\sum_{j\geqslant 1}2^{(n+r)j}$ là hữu hạn nếu $r <-n$. Mặt khác, ta có (loc. cit.)

$\mathbf{R}^{n-}Bj\geqslant 1j\geqslant 1$

là vô hạn nếu $r\geqslant -n$.

Ta chứng minh a$')$ tương tự bằng cách xét các tập hợp $C_j\cap \mathbf{Z}^n$ phủ $\mathbf{Z}^n-\{0\}$ và thỏa mãn

Card(C$_j\cap \mathbf{Z}^n$) $= (2^{j+1}-1)^n-(2^j-1)^n$,

thuộc khoảng $[(1-2^{-n})(2^{j+1}-1)^n,2^{n(j+1)}]$.

Vì U là compact địa phương, tồn tại một phủ $\mathscr{V}$ của U mịn hơn $\mathscr{U}$ gồm các tập mở tương đối compact trong U. Vì U là paracompact (TG, IX, p. 51, đl. 4), tồn tại một phủ mở hữu hạn địa phương $\mathscr{W}$ mịn hơn $\mathscr{V}$. Khi đó $\mathscr{W}$ mịn hơn $\mathscr{U}$ và gồm các tập mở tương đối compact.

a) Ta có $f_m\in \mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$ và giá của $f_m$ được chứa trong V ;

b) Cho $p\in [1,+\infty ]$. Dãy $(f_m)_{m>m_0}$ hội tụ tới $f$ trong $L^p(\mathbf{R}^n)$.

Theo TG, IX, p. 14, nhận xét, ta có $d(K,\mathbf{R}^n-V)>0$. Lấy một số nguyên $m_0\geqslant 1$ sao cho $m^{-1}_0< d(K,\mathbf{R}^n-$ V) ; nó thỏa mãn điều kiện cần có. Với mọi $m > m_0$, hàm $f_m$ liên tục (INT, VIII, p. 166, § 4, n$^o5$, mệnh đề 11) và có giá được chứa trong $K + V_m$ (INT, VIII, p. 126, § 1, n$^o4$, mệnh đề 5), do đó trong V. Theo Hệ quả 2 của IV, p. 198, ta có $f_m\in \mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$. Nếu $p\not = +\infty$, thì dãy $(f_m)$ hội tụ tới $f$ trong $L^p(\mathbf{R}^n)$ (INT, VIII, p. 172, § 4, n$^o7$, mệnh đề 20).[^1]

Giả sử rằng $p= +\infty$. Cho $\varepsilon >0$. Hàm $f$ liên tục đều trên $\mathbf{R}^n$, do đó tồn tại một số nguyên $m_1> m_0$ sao cho, với mọi $m\geqslant m_1$ và mọi $x\in \mathbf{R}^n$ và $y\in V_m$, ta có $|f(x)-f(x-y)|< \varepsilon$.

Với mọi $m\geqslant m_1$, hàm $\varphi_m$ triệt tiêu ở ngoài $V_m$, dương và có tích phân bằng 1. Do đó suy ra bất đẳng thức

với mọi $x\in \mathbf{R}^n$, do đó suy ra kết quả.

b) Với mọi $p\in [1,+\infty [$, đơn ánh chính tắc của $\mathscr{D}(U)$ vào $\mathscr{L}^p(U)$ là liên tục và $\mathscr{D}(U)$ trù mật trong $L^p(U)$.

Mọi nửa chuẩn liên tục trên $\mathscr{K}(U)$ đều liên tục trên $\mathscr{D}$(U), do đó đơn ánh chính tắc của $\mathscr{D}(U)$ vào $\mathscr{K}(U)$ là liên tục.

Cho $f\in \mathscr{K}(U)$. Tồn tại một dãy $(f_m)_{m\in\mathbf{N}}$ trong $\mathscr{D}(U)$ hội tụ đều đến $f$ trên U và sao cho các giá của $f_m$ được chứa trong một lân cận tương đối compắc cố định của giá của $f$ (Bổ đề 3). Do đó dãy $(f_m)$ hội tụ đến $f$ trong $\mathscr{K}(U)$. Điều này kết thúc chứng minh của a).

Cho $p\in [1,+\infty [$. Cho $f\in \mathscr{D}(U)$ và K là giá của $f$. Khi đó ta có bất đẳng thức $N_p(f)\leqslant \mu(K)^{1/p}$ sup$_{x\in K}|f(x)|$, do đó đơn ánh chính tắc của $\mathscr{D}(U)$ vào $\mathscr{L}^p(U)$ là liên tục. Phần cuối của mệnh đề b) khi đó suy ra từ a).

Vì tích của hai hàm thử vẫn lại là một hàm thử, công thức Leibniz (FVR, I, p. 28, prop. 2) cho thấy rằng không gian $\mathscr{D}(U)$ là một đại số tôpô.

Nói chung hơn, cho $f\in \mathscr{C}^{\infty}(U)$. Khi đó ánh xạ tuyến tính $\varphi \mapsto f \varphi$ của $\mathscr{D}(U)$ vào $\mathscr{D}(U)$ là liên tục. Thật vậy, với mọi tập con compắc K của U và mọi $\alpha \in \mathbf{N}^n$, ta có

$0\leqslant \beta \leqslant \alpha$

(xem chỗ đã dẫn).

sup$_{x\in K}|\partial^{\alpha}\varphi (x)|\leqslant M_{\alpha}$.

Thật vậy, không gian $\mathscr{D}(U)$ là bornological và mọi tập con bị chặn của $\mathscr{D}(U)$ đều được chứa trong một trong các tập bị chặn được mô tả trong mệnh đề.

Đặc biệt, một dãy $(f_m)_{m\in\mathbf{N}}$ các phân phối hội tụ đến một phân phối $f$ nếu và chỉ nếu, với mọi $\varphi \in \mathscr{D}(U)$, dãy $(\langle f_m, \varphi \rangle )_{m\in\mathbf{N}}$ hội tụ đến $\langle f, \varphi \rangle$.

Vì $\mathscr{D}'(U)$ là một không gian Montel, do đó là barrelled, điều này suy ra từ định lý Banach-Steinhaus (EVT, III, p. 26, cor. 3 of th. 1).

Cho V là một tập mở được chứa trong U. Chuyển vị của ánh xạ tuyến tính chính tắc từ $\mathscr{D}(V)$ vào $\mathscr{D}(U)$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ $\mathscr{D}'(U)$ vào $\mathscr{D}'$(V), được gọi là hạn chế của các phân phối từ U xuống V và được ký hiệu bởi $r_{VU}$, hoặc đôi khi $r_{V,U}$.

Ta có $r_{VV}= 1_{\mathscr{D}'(V)}$. Nếu $W\subset V\subset U$ là các tập mở trong U, thì ta có $r_{WV}\circ r_{VU}=r_{WU}$. Nói cách khác, nếu $\mathscr{T}$ ký hiệu tôpô trên U, thì hệ xạ ảnh $\mathscr{D}'(U) = ((\mathscr{D}'(V))_{V\in\mathscr{T}},(r_{WV}))$ là một tiền bó trên U với giá trị trong Loài cấu trúc của các không gian vectơ tôpô lồi địa phương (TA, I, p. 42, def. 1 and p. 66, §10).

Nhắc lại (TA, I, p. 43, def. 2) rằng điều đó có nghĩa là với mọi tập con mở V của U và mọi phủ mở $(V_i)_{i\in I}$ của V, các điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) Ánh xạ $(r_{V_iV})_{i\in I}:\mathscr{D}'(V)\rightarrow \prod_{i\in I}\mathscr{D}'(V_i)$ là đơn ánh;

(ii) Với mọi họ $(f_i)\in \prod_{i\in I}\mathscr{D}'(V_i)$ sao cho

với mọi cặp $(i, i')\in I\times I$, tồn tại một phân phối $f\in \mathscr{D}'(V)$ sao cho với mọi $i\in I$, ta có $r_{V_iV}(f) =f_i$.

Cho V là một tập mở của U và $\mathscr{V}= (V_i)_{i\in I}$ một phủ mở của V. Cho $(W_j)_{j\in J}$ là một phủ mở hữu hạn địa phương của V, mịn hơn $\mathscr{V}$ và gồm các tập con tương đối compắc (bổ đề 2 của IV, p. 201). Cố định một phân hoạch đơn vị $(\varphi_j)_{j\in J}$ phụ thuộc vào phủ $(W_j)_{j\in J}$ sao cho giá của $\varphi_j$ được chứa trong $W_j$ với mọi $j\in J$ (bổ đề 1 của IV, p. 196).

Cho $\varphi \in \mathscr{D}(V)$. Vì tập hợp các $j\in J$ sao cho $W_j$ giao với giá của $\varphi$ là hữu hạn (TG, I, §9, n$^o1$, p. 59), ta có

trong đó tổng chỉ gồm một số hữu hạn số hạng khác không.

Ta chứng minh (i). Giả sử rằng $f\in \mathscr{D}'(V)$ thỏa mãn $r_{V_iV}(f) = 0$ với mọi $i\in I$. Điều đó có nghĩa là $\langle f, \varphi \rangle = 0$ với mọi hàm thử $\varphi$ mà giá của nó được chứa trong một trong các tập mở $V_i$. Điều này a fortiori cũng đúng nếu giá của $\varphi$ được chứa trong một trong các tập mở $W_j$. Nhưng khi đó, với mọi $\varphi \in \mathscr{D}$(V), ta có

do đó $f= 0$.

Ta chứng minh (ii). Cho $(f_i)_{i\in I}$ là một họ sao cho $f_i\in \mathscr{D}'(V_i)$ với mọi $i\in I$ và $r_{V_i\cap V_{i'},V_i}(f_i) =r_{V_i\cap V_{i'},V_{i'}}(f_{i'})$ với mọi $i$ và $i'$ trong I. Cho $\iota : J\rightarrow I$ là một ánh xạ sao cho $W_j\subset V_{\iota(j)}$ với mọi $j\in J$. Với mọi $j\in J$, đặt $\widetilde{f}_j=r_{W_j,V_{\iota(j)}}(f_{\iota(j)})$. Khi đó ta có

Đổi vai trò của $j$ và $j'$ và nhận thấy rằng

theo giả thiết, ta suy ra rằng

với mọi $(j, j')\in J^2$.

Với $\varphi \in \mathscr{D}$(V), đặt

trong đó tổng là hữu hạn vì chỉ có một số hữu hạn số hạng có thể khác không.

Ánh xạ $\lambda$ là một dạng tuyến tính trên $\mathscr{D}(V)$. Ta chứng minh rằng nó là một phân phối. Cho B là một tập con bị chặn của $\mathscr{D}(V)$ và cho K là một tập compact của V sao cho $B\subset \mathscr{C}_K^{\infty}(V)$. Theo TG, I, §9, n$^o1$, p. 59, tồn tại một tập con hữu hạn $J'$ của J sao cho

với mọi $\varphi \in B$. Vì $\widetilde{f}_j$ là một phân phối với mọi $j\in J'$ và $\mathscr{D}(V)$ là một đại số tôpô, ta suy ra rằng $\lambda$ bị chặn trên B, do đó có kết quả (bổ đề 4).

Cho $j\in J$ và cho $\varphi \in \mathscr{D}(V)$ mà giá của nó được chứa trong $W_j$. Khi đó ta có

theo (1), vì $\varphi \varphi_{j'}$ có giá được chứa trong $W_j\cap W_{j'}$. Do đó

do đó $r_{W_jV}(\lambda ) =\widetilde{f}_j$ với mọi $j\in J$.

Cho $i\in I$. Cuối cùng, ta hãy chỉ ra rằng hạn chế của $\lambda$ lên $V_i$ trùng với $f_i$. Theo điều kiện (i), áp dụng cho phủ của $V_i$ bởi các tập mở $W_j$, chỉ cần kiểm tra rằng với mọi $j\in J$, hạn chế của $\lambda$ lên $V_i\cap W_j$ trùng với hạn chế của $f_i$. Theo điều đã đi trước, vấn đề là kiểm tra rằng hạn chế của $f_i$ lên $V_i\cap W_j$ là hạn chế của $\widetilde{f}_j$. Bây giờ ta có

trong đó ta đã dùng giả thiết liên quan đến họ $(f_i)$. Nhưng khi đó

điều này cho phép ta kết luận.

Cho K là một tập con compact của U. Với mọi hàm $\varphi \in \mathscr{C}_K^{\infty}$(U), ta có $|\langle \nu , \varphi \rangle |\leqslant p_{0,K}(\varphi )|\nu |$(K), do đó hạn chế của $\nu$ lên $\mathscr{D}(U)$ là liên tục. Vì $\mathscr{D}(U)$ trù mật trong $\mathscr{K}(U)$ (mệnh đề 4, a) của IV, p. 202), nên hạn chế của $\nu$ lên $\mathscr{D}(U)$ bằng không khi và chỉ khi $\nu$ bằng không.

Ta sẽ đồng nhất không gian $\mathscr{M}(U;\mathbf{C})$ các độ đo phức trên U với một không gian con của $\mathscr{D}'(U)$. Ta cũng sẽ đồng nhất không gian $L^1_{loc}(U)$ với một không gian con của $\mathscr{D}'(U)$ bởi ánh xạ suy ra bằng cách chuyển qua các thương từ ánh xạ gán cho $f\in \mathscr{L}_{loc}^1(U)$ độ đo $f\cdot \mu$ (INT, V, p. 44, § 5, No.$^o2$, định nghĩa 2). Nói cách khác, với $f\in L^1_{loc}(U)$ và $\varphi \in \mathscr{D}$(U), ta có

Đặc biệt, với $p\in [1,+\infty ]$, điều này cho phép đồng nhất không gian $L^p(U)$ với một không gian con của $\mathscr{D}'(U) ($x. INT, V, p. 43, § 5, No.$^o1)$.

Cho $f\in L^p(U)$. Cho K là một tập con compact của U, và ký hiệu bởi $\varphi_K$ hàm đặc số của nó. Với mọi hàm thử $\varphi$ có giá chứa trong K, bất đẳng thức Hölder suy ra

trong đó $q$ là số mũ liên hợp của $p$.

Đặc biệt ta có thể đồng nhất $\mathscr{D}(U)$ với một không gian con của $\mathscr{D}'(U)$.

Cho $\lambda$ là một dạng tuyến tính trên $\mathscr{D}'(U)$ triệt tiêu trên $\mathscr{D}(U)$. Vì $\mathscr{D}(U)$ là phản xạ, tồn tại một hàm thử $\varphi \in \mathscr{D}(U)$ sao cho $\lambda (f) =\langle f, \varphi \rangle$ với mọi $f\in \mathscr{D}'(U)$. Do đó

suy ra $\varphi = 0$. Mệnh đề do đó suy ra từ định lý Hahn–Banach (EVT, II, p. 49, hệ quả 3 (ii)).

Với $h\in \mathscr{C}^{\infty}$(U), ánh xạ chuyển vị của ánh xạ tuyến tính liên tục $\varphi \mapsto h\varphi$ từ $\mathscr{D}(U)$ vào chính nó là một ánh xạ tuyến tính liên tục của $\mathscr{D}'(U)$ vào chính nó, được ký hiệu là $f\mapsto hf$. Định nghĩa này là xác đáng vì nếu $f$ là phân phối liên kết với một độ đo $\nu$ trên U, thì $hf$ liên kết với độ đo $h\cdot \nu$. Thật vậy, với mọi hàm thử $\varphi \in \mathscr{D}$(U), ta tính được