a) Soient K une partie compacte de U et V un voisinage ouvert de K dans U. Il existe une fonction $\varphi \in \mathscr{C}^{\infty}(U)$ à support compact contenu dans V telle que $0\leqslant \varphi \leqslant 1$ et telle que $\varphi (x) = 1$ pour tout $x\in K$;

b) Pour tout recouvrement ouvert localement fini de U, il existe une partition de l’unité formée de fonctions de classe $C^{\infty}$ qui lui est subordonnée.

Cela résulte de VAR, R1, p. 40, 5.3.6.

L’application $h$ est la composée de l’application $(f, g) : U\rightarrow E\times F$, qui est de classe $C^k$, et de l’application $b: E\times F\rightarrow G$ qui est de classe $C^{\infty}$. Elle est donc de classe $C^k$. L’expression pour ses dérivées partielles résulte de la formule de Leibniz (FVR, I, p. 28, prop. 2, cf. A, III, p. 122, corollaire).

On rappelle qu’un espace vectoriel topologique localement convexe séparé est un espace de Montel s’il est tonnelé et si toute partie bornée est relativement compacte (EVT, IV, p. 18, déf. 4).

On rappelle également que si E et F sont des espaces localement convexes, et si E est bornologique (EVT, III, p. 12, déf. 1), une application linéaire $u: E\rightarrow F$ est continue si et seulement si l’image par $u$ de toute partie bornée de E est bornée dans F (EVT, III, p. 11, prop. 1, (iiibis), lorsque F est semi-normé, le cas général en résultant de manière formelle, cf. EVT, II, p. 7, prop. 5, b)).

(i) Pour tout $t\in I$, l’application $x\mapsto f(x, t)$ de X dans E est $\nu$-intégrable ;

(ii) Pour tout $x\in X$, l’application $t\mapsto f(x, t)$ de I dans E admet une dérivée, notée $t\mapsto f'(x, t)$;

(iii) Il existe une fonction positive $\nu$-intégrable $g$ sur X telle que $\|f'(x, t)\|\leqslant g(x)$ pour tout $(x, t)\in X\times I$.

Alors l’application F de I dans E définie par

est dérivable dans I et pour tout $t\in I$, on a

Soit $t_0\in I$ et soit J un intervalle de $\mathbf{R}$ contenu dans I qui est un voisinage de $t_0$ dans I. Soit $h: X\times J\rightarrow E$ l’application définie par $(x, t)\mapsto (f(x, t)-f(x, t_0))/(t-t_0)$ pour $(x, t)\in X\times (J-\{t_0\})$ et $(x, t_0)\mapsto f'(x, t_0)$ pour $x\in X$. Soit $x\in X$. On a $\|h(x, t_0)\|\leqslant g(x)$ et, pour tout $t\not =t_0$, il vient $\|h(x, t)\|\leqslant g(x)$ par FVR, I, p. 23, th. 2. Par définition de la dérivée, la proposition se déduit du corollaire 1 de INT, IV, p. 144, § 4, n$^o3$, appliqué à l’application $h$.

Reprenons les notations de VAR, R1, 2.4, p. 19 concernant les dérivées partielles.

(i) Pour tout $t\in U$, l’application $x\mapsto f(x, t)$ de X dans E est $\nu$-intégrable ;

(ii) Pour tout $x\in X$, l’application $t\mapsto f(x, t)$ de U dans E est de classe $C^k$, de dérivées partielles notées $\partial^{\alpha}f(x, t)$ pour tout $\alpha \in \mathbf{N}^n$ tel que $|\alpha |\leqslant k$;

(iii) Il existe une fonction $\nu$-intégrable $g$ sur X telle que pour tout $\alpha \in \mathbf{N}^n$ vérifiant $|\alpha |\leqslant k$ et pour tout $(x, t)\in X\times U$, on a $\|\partial^{\alpha}f(x, t)\|\leqslant g(x)$.

Alors l’application F de U dans E définie par

est de classe $C^k$ dans U et pour tout $\alpha \in \mathbf{N}^n$ vérifiant $|\alpha |\leqslant k$ et tout $t\in U$, on a

Cela résulte de la proposition par récurrence sur $k$.

On peut appliquer le corollaire 1 à l’espace $X =\mathbf{R}^n$, à la mesure de Lebesgue et à l’application $h$ définie par $(x, t)\mapsto f(x)g(t-x)$ de $\mathbf{R}^n\times \mathbf{R}^n$ dans $\mathbf{C}$; en effet, pour tout $\alpha \in \mathbf{N}^n$ tel que $|\alpha |\leqslant k$, on a l’inégalité

$|\partial^{\alpha}h(x, t)|\leqslant ($sup$_{|\beta|\leqslant k}$ sup$_{y\in\mathbf{R}^n}|\partial^{\beta}g(y)|)|f(x)|$

dont le second membre est une fonction intégrable sur $\mathbf{R}^n$.

a) La fonction $(1 + N)^r$ appartient à $\mathscr{L}^p(\mathbf{R}^n, \mu)$ si et seulement si $rp <-n$;

a$')$ La restriction à $\mathbf{Z}^n$ de la fonction $(1 + N)^r$ appartient à $\ell^p(\mathbf{Z}^n)$ si et seulement si $rp <-n$;

b) Soit V un voisinage mesurable borné de 0 dans $\mathbf{R}^n$. La fonction $N^r$ appartient à $\mathscr{L}^p(\mathbf{R}^n-V, \mu)$ si et seulement si $rp <-n$.

En vertu de l’équivalence des normes sur $\mathbf{R}^n$ (EVT I, p. 14, th. 2 et TG, IX, p. 32, prop. 8), on peut supposer que la norme N est donnée par $N(x) =$ sup$|x_i|$ pour $x= (x_i)\in \mathbf{R}^n$. Notons B la boule unité de $\mathbf{R}^n$ pour cette norme.

Soit V un voisinage mesurable borné de 0 dans $\mathbf{R}^n$. La fonction $N^r$ est continue et bornée sur (B- $V$)$\cup (V$- B), ce qui montre que l’assertion b) est valide si et seulement si elle l’est lorsque V = B, ce qu’on supposera désormais. La fonction $(1 + N)^r$ étant continue et bornée sur B, et vérifiant l’encadrement $N^r\leqslant (1 + N)^r\leqslant 2^rN^r$ sur $\mathbf{R}^n-$ B, on constate que les assertions a) et b) sont équivalentes.

Démontrons b) lorsque V = B. On peut supposer que $p= 1$. Le cas où $r >0$ étant élémentaire, supposons que $r\leqslant 0$. Pour tout entier $j\geqslant 1$, l’ensemble intégrable

est de mesure $2^{nj}(2^n-1)$. Les ensembles $(C_j)_{j\geqslant 1}$ forment une partition de $\mathbf{R}^n-$ B. D’après INT, V, p. 4, § 1, n$^o1$, cor., on a donc

$\mathbf{R}^{n-}Bj\geqslant 1C_j$

$\leqslant \sum_{j\geqslant 1}2^{n+nj}2^{r(j-1)}= 2^{n-r}\sum_{j\geqslant 1}2^{(n+r)j}$ qui est finie si $r <-n$. D’autre part, on a (loc. cit.)

$\mathbf{R}^{n-}Bj\geqslant 1j\geqslant 1$

qui est infini si $r\geqslant -n$.

On démontre a$')$ de manière similaire en considérant les ensembles $C_j\cap \mathbf{Z}^n$ qui recouvrent $\mathbf{Z}^n-\{0\}$ et vérifient

Card(C$_j\cap \mathbf{Z}^n$) $= (2^{j+1}-1)^n-(2^j-1)^n$,

qui appartient à l’intervalle $[(1-2^{-n})(2^{j+1}-1)^n,2^{n(j+1)}]$.

Comme U est localement compact, il existe un recouvrement $\mathscr{V}$ de U plus fin que $\mathscr{U}$ constitué d’ouverts relativement compacts dans U. Puisque U est paracompact (TG, IX, p. 51, th. 4), il existe un recouvrement ouvert localement fini $\mathscr{W}$ plus fin que $\mathscr{V}$. Alors $\mathscr{W}$ est plus fin que $\mathscr{U}$ et est constitué d’ouverts relativement compacts.

a) On a $f_m\in \mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$ et le support de $f_m$ est contenu dans V ;

b) Soit $p\in [1,+\infty ]$. La suite $(f_m)_{m>m_0}$ converge vers $f$ dans $L^p(\mathbf{R}^n)$.

D’après TG, IX, p. 14, remarque, on a $d(K,\mathbf{R}^n-V)>0$. Soit $m_0\geqslant 1$ un entier tel que $m^{-1}_0< d(K,\mathbf{R}^n-$ V) ; il vérifie la condition demandée. Pour tout $m > m_0$, la fonction $f_m$ est continue (INT, VIII, p. 166, § 4, n$^o5$, prop. 11) et à support contenu dans $K + V_m$ (INT, VIII, p. 126, § 1, n$^o4$, prop. 5), donc dans V. D’après le corollaire 2 de IV, p. 198, on a $f_m\in \mathscr{D}(\mathbf{R}^n)$. Si $p\not = +\infty$, alors la suite $(f_m)$ converge vers $f$ dans $L^p(\mathbf{R}^n)$ (INT, VIII, p. 172, § 4, n$^o7$, prop. 20).[^1]

Supposons que $p= +\infty$. Soit $\varepsilon >0$. La fonction $f$ est uniformément continue sur $\mathbf{R}^n$, donc il existe un entier $m_1> m_0$ tel que, pour tout $m\geqslant m_1$ et tous $x\in \mathbf{R}^n$ et $y\in V_m$, on ait $|f(x)-f(x-y)|< \varepsilon$.

Pour tout $m\geqslant m_1$, la fonction $\varphi_m$ est nulle en dehors de $V_m$, positive et d’intégrale 1. On en déduit donc l’inégalité

pour tout $x\in \mathbf{R}^n$, d’où le résultat.

b) Pour tout $p\in [1,+\infty [$, l’injection canonique de $\mathscr{D}(U)$ dans $\mathscr{L}^p(U)$ est continue et $\mathscr{D}(U)$ est dense dans $L^p(U)$.

Toute semi-norme continue sur $\mathscr{K}(U)$ est continue sur $\mathscr{D}$(U), donc l’injection canonique de $\mathscr{D}(U)$ dans $\mathscr{K}(U)$ est continue.

Soit $f\in \mathscr{K}(U)$. Il existe une suite $(f_m)_{m\in\mathbf{N}}$ dans $\mathscr{D}(U)$ qui converge uniformément vers $f$ sur U et telle que les supports des $f_m$ soient contenus dans un voisinage relativement compact fixé du support de $f$ (lemme 3). La suite $(f_m)$ converge donc vers $f$ dans $\mathscr{K}(U)$. Cela conclut la preuve de a).

Soit $p\in [1,+\infty [$. Soit $f\in \mathscr{D}(U)$ et soit K le support de $f$. On a alors l’inégalité $N_p(f)\leqslant \mu(K)^{1/p}$ sup$_{x\in K}|f(x)|$, donc l’injection canonique de $\mathscr{D}(U)$ dans $\mathscr{L}^p(U)$ est continue. La dernière partie de l’assertion b) résulte alors de a).

Le produit de deux fonctions test étant encore une fonction test, la formule de Leibniz (FVR, I, p. 28, prop. 2) montre que l’espace $\mathscr{D}(U)$ est une algèbre topologique.

Plus généralement, soit $f\in \mathscr{C}^{\infty}(U)$. L’application linéaire $\varphi \mapsto f \varphi$ de $\mathscr{D}(U)$ dans $\mathscr{D}(U)$ est alors continue. En effet, pour toute partie compacte K de U et tout $\alpha \in \mathbf{N}^n$, on a

$0\leqslant \beta \leqslant \alpha$

(cf. loc. cit.).

sup$_{x\in K}|\partial^{\alpha}\varphi (x)|\leqslant M_{\alpha}$.

En effet, l’espace $\mathscr{D}(U)$ est bornologique et toute partie bornée de $\mathscr{D}(U)$ est contenue dans l’un des ensembles bornés décrits dans l’énoncé.

En particulier, une suite $(f_m)_{m\in\mathbf{N}}$ de distributions converge vers une distribution $f$ si et seulement si, pour tout $\varphi \in \mathscr{D}(U)$, la suite $(\langle f_m, \varphi \rangle )_{m\in\mathbf{N}}$ converge vers $\langle f, \varphi \rangle$.

Comme $\mathscr{D}'(U)$ est un espace de Montel, donc tonnelé, cela résulte du théorème de Banach–Steinhaus (EVT, III, p. 26, cor. 3 du th. 1).

Soit V un ouvert contenu dans U. La transposée de l’application linéaire canonique de $\mathscr{D}(V)$ dans $\mathscr{D}(U)$ est une application linéaire continue de $\mathscr{D}'(U)$ dans $\mathscr{D}'$(V), appelée restriction des distributions de U à V et notée $r_{VU}$, ou parfois $r_{V,U}$.

On a $r_{VV}= 1_{\mathscr{D}'(V)}$. Si $W\subset V\subset U$ sont des ouverts dans U, alors on a $r_{WV}\circ r_{VU}=r_{WU}$. Autrement dit, si $\mathscr{T}$ désigne la topologie sur U, le système projectif $\mathscr{D}'(U) = ((\mathscr{D}'(V))_{V\in\mathscr{T}},(r_{WV}))$ est un préfaisceau sur U à valeurs dans l’espèce de structure des espaces vectoriels topologiques localement convexes (TA, I, p. 42, déf. 1 et p. 66, §10).

Rappelons (TA, I, p. 43, déf. 2) que cela signifie que pour toute partie ouverte V de U et tout recouvrement ouvert $(V_i)_{i\in I}$ de V, les conditions suivantes sont satisfaites :

(i) L’application $(r_{V_iV})_{i\in I}:\mathscr{D}'(V)\rightarrow \prod_{i\in I}\mathscr{D}'(V_i)$ est injective ;

(ii) Pour toute famille $(f_i)\in \prod_{i\in I}\mathscr{D}'(V_i)$ telle que

pour tout couple $(i, i')\in I\times I$, il existe une distribution $f\in \mathscr{D}'(V)$ telle que pour tout $i\in I$, on ait $r_{V_iV}(f) =f_i$.

Soient V un ouvert de U et $\mathscr{V}= (V_i)_{i\in I}$ un recouvrement ouvert de V. Soit $(W_j)_{j\in J}$ un recouvrement ouvert localement fini de V, plus fin que $\mathscr{V}$ et formé de parties relativement compactes (lemme 2 de IV, p. 201). Fixons une partition de l’unité $(\varphi_j)_{j\in J}$ subordonnée au recouvrement $(W_j)_{j\in J}$ telle que le support de $\varphi_j$ est contenu dans $W_j$ pour tout $j\in J$ (lemme 1 de IV, p. 196).

Soit $\varphi \in \mathscr{D}(V)$. Comme l’ensemble des $j\in J$ tels que $W_j$ rencontre le support de $\varphi$ est fini (TG, I, §9, n$^o1$, p. 59), on a

où la somme ne compte d’un nombre fini de termes non nuls.

Démontrons (i). Supposons que $f\in \mathscr{D}'(V)$ vérifie $r_{V_iV}(f) = 0$ pour tout $i\in I$. Cela signifie que $\langle f, \varphi \rangle = 0$ pour toute fonction test $\varphi$ dont le support est contenu dans l’un des ouverts $V_i$. C’est a fortiori vrai si le support de $\varphi$ est contenu dans l’un des ouverts $W_j$. Mais alors, pour tout $\varphi \in \mathscr{D}$(V), on a

donc $f= 0$.

Démontrons (ii). Soit $(f_i)_{i\in I}$ une famille telle que $f_i\in \mathscr{D}'(V_i)$ pour tout $i\in I$ et $r_{V_i\cap V_{i'},V_i}(f_i) =r_{V_i\cap V_{i'},V_{i'}}(f_{i'})$ pour tous $i$ et $i'$ dans I. Soit $\iota : J\rightarrow I$ une application telle que $W_j\subset V_{\iota(j)}$ pour tout $j\in J$. Pour tout $j\in J$, posons $\widetilde{f}_j=r_{W_j,V_{\iota(j)}}(f_{\iota(j)})$. On a alors

En échangeant le rôle de $j$ et $j'$ et en notant que

par hypothèse, on en déduit que

pour tous $(j, j')\in J^2$.

Pour $\varphi \in \mathscr{D}$(V), posons

où la somme est finie puisque seul un nombre fini de termes peuvent être non nuls.

L’application $\lambda$ est une forme linéaire sur $\mathscr{D}(V)$. Démontrons que c’est une distribution. Soit B une partie bornée de $\mathscr{D}(V)$ et soit K une partie compacte de V telle que $B\subset \mathscr{C}_K^{\infty}(V)$. D’après TG, I, §9, n$^o1$, p. 59, il existe un sous-ensemble fini $J'$ de J tel que

pour tout $\varphi \in B$. Puisque $\widetilde{f}_j$ est une distribution pour tout $j\in J'$ et que $\mathscr{D}(V)$ est une algèbre topologique, on en déduit que $\lambda$ est bornée sur B, d’où le résultat (lemme 4).

Soient $j\in J$ et $\varphi \in \mathscr{D}(V)$ dont le support est contenu dans $W_j$. On a alors

d’après (1), puisque $\varphi \varphi_{j'}$ a support contenu dans $W_j\cap W_{j'}$. Par conséquent

d’où $r_{W_jV}(\lambda ) =\widetilde{f}_j$ pour tout $j\in J$.

Soit $i\in I$. Démontrons finalement que la restriction de $\lambda$ à $V_i$ coïncide avec $f_i$. D’après la condition (i), appliquée au recouvrement de $V_i$ par les ouverts $W_j$, il suffit de vérifier que pour tout $j\in J$, la restriction de $\lambda$ à $V_i\cap W_j$ coïncide avec celle de $f_i$. D’après ce qui précède, il s’agit de vérifier que la restriction de $f_i$ à $V_i\cap W_j$ est celle de $\widetilde{f}_j$. Or, on a

où on a utilisé l’hypothèse concernant la famille $(f_i)$. Mais alors

ce qui permet de conclure.

Soit K une partie compacte de U. Pour toute fonction $\varphi \in \mathscr{C}_K^{\infty}$(U), on a $|\langle \nu , \varphi \rangle |\leqslant p_{0,K}(\varphi )|\nu |$(K), donc la restriction de $\nu$ à $\mathscr{D}(U)$ est continue. Puisque $\mathscr{D}(U)$ est dense dans $\mathscr{K}(U)$ (prop. 4, a) de IV, p. 202), la restriction de $\nu$ à $\mathscr{D}(U)$ est nulle si et seulement si $\nu$ est nulle.

On identifiera l’espace $\mathscr{M}(U;\mathbf{C})$ des mesures complexes sur U à un sous-espace de $\mathscr{D}'(U)$. On identifiera également l’espace $L^1_{loc}(U)$ à un sous-espace de $\mathscr{D}'(U)$ par l’application déduite par passage aux quotients de l’application qui associe à $f\in \mathscr{L}_{loc}^1(U)$ la mesure $f\cdot \mu$ (INT, V, p. 44, § 5, n$^o2$, déf. 2). En d’autres termes, pour $f\in L^1_{loc}(U)$ et $\varphi \in \mathscr{D}$(U), on a

En particulier, pour $p\in [1,+\infty ]$, cela permet d’identifier l’espace $L^p(U)$ à un sous-espace de $\mathscr{D}'(U) ($cf. INT, V, p. 43, § 5, n$^o1)$.

Soit $f\in L^p(U)$. Soit K une partie compacte de U, dont on note $\varphi_K$ la fonction caractéristique. Pour toute fonction test $\varphi$ à support contenu dans K, l’inégalité de Hölder implique

où $q$ est l’exposant conjugué de $p$.

On peut en particulier identifier $\mathscr{D}(U)$ à un sous-espace de $\mathscr{D}'(U)$.

Soit $\lambda$ une forme linéaire sur $\mathscr{D}'(U)$ nulle sur $\mathscr{D}(U)$. Puisque $\mathscr{D}(U)$ est réflexif, il existe une fonction test $\varphi \in \mathscr{D}(U)$ telle que $\lambda (f) =\langle f, \varphi \rangle$ pour tout $f\in \mathscr{D}'(U)$. Il vient

d’où $\varphi = 0$. La proposition découle alors du théorème de Hahn–Banach (EVT, II, p. 49, cor. 3 (ii)).

Pour $h\in \mathscr{C}^{\infty}$(U), la transposée de l’application linéaire continue $\varphi \mapsto h\varphi$ de $\mathscr{D}(U)$ dans lui-même est une application linéaire continue de $\mathscr{D}'(U)$ dans lui-même, que l’on note $f\mapsto hf$. Cette définition est justifiée car si $f$ est la distribution associée à une mesure $\nu$ sur U, alors $hf$ est associée à la mesure $h\cdot \nu$. En effet, pour toute fonction test $\varphi \in \mathscr{D}$(U), on calcule