a) L’application $p_i:f\mapsto f \varphi_i$ est un projecteur de $\mathscr{L}^p(X, \mu)$ et définit par passage aux quotients un projecteur $\widetilde{p}_i$ de $L^p(X, \mu)$. Ce dernier est un orthoprojecteur de $L^2(X, \mu)$ si $p= 2$;

b) L’application $f\mapsto f|X_i$ induit un isomorphisme isométrique de l’image de $p_i$ sur l’espace $\mathscr{L}^p(X_i, \mu_i)$ et définit par passage aux quotients un isomorphisme isométrique de l’image de $\widetilde{p}_i$ sur $L^p(X_i, \mu_i)$, par le truchement duquel on identifie ces deux espaces ;

c) La somme des espace $L^p(X_i, \mu_i)$ est totale dans l’espace $L^p(X, \mu)$. Dans le cas $p= 2$, l’espace $L^2(X, \mu)$ est la somme hilbertienne des espaces $L^2(X_i, \mu_i)$.

L’assertion a) est élémentaire. L’assertion b) résulte du scholie de INT, V, p. 84, § 7, n$^o1$.

Soit $q\in ]1,+\infty ]$ l’exposant conjugué de $p$. On identifie le dual de $L^p(X, \mu)$ avec $L^q(X, \mu)$ (INT, V, p. 61, § 5, n$^o8$, th. 4). Soit $f$ une fonction dans $\mathscr{L}^q(X, \mu)$ dont la classe $\widetilde{f}$ dans $L^q(X, \mu)$ vérifie $\langle \widetilde{f} ,\widetilde{p}_i(\varphi )\rangle = 0$ pour tout $i\in I$ et tout $\varphi \in L^p(X, \mu)$. Comme l’image de $p_i$ contient $\mathscr{K}(X_i)$, il en résulte que la mesure $(f|X_i)\cdot \mu_i$ sur $X_i$ est nulle, ce qui signifie que la restriction de $f$ à $X_i$ est localement $\mu_i$-négligeable sur $X_i$ (INT, V, p. 46, § 5, n$^o3$, cor. 2). Puisque le complémentaire dans X de la réunion des $X_i$ est localement $\mu$-négligeable, on en conclut que la fonction $f$ est localement $\mu$-négligeable sur X (INT, IV, p. 190, § 5, n$^o9$ et p. 172, n$^o2$, prop. 5). La classe de $f$ est alors nulle dans $L^q(X, \mu)$ (en utilisant INT, V, p. 8, § 1, n$^o3$, lemme 1 et corollaire de la proposition 9 lorsque $p\not = 1$). D’après le théorème de Hahn–Banach (EVT, II, p. 46, cor. 1), la première partie de l’assertion c) en résulte.

Si $p= 2$, l’image de $p_i$ est orthogonale à celle $p_j$ pour tous $i\not =j$, puisque $X_i$ et $X_j$ sont alors disjoints, d’où la dernière assertion.

Soit $(U_n)_{n\in\mathbf{N}}$ une suite d’ouverts relativement compacts de X dont la réunion est égale à X et qui vérifient $U_n\subset U_{n+1}$ pour tout $n\in \mathbf{N}$ (TG, I, p. 68, prop. 15). Pour tout $n\in \mathbf{N}$, l’espace $\mathscr{K}(X,\overline{U}_n)$ s’identifie à un sous-espace fermé de l’espace de Banach $\mathscr{C}(U_n)$ (INT, III, p. 40, § 1, n$^o1$); puisque ce dernier espace est de type dénombrable (TG, X, p. 25, corollaire), il en est de même de $\mathscr{K}(X,\overline{U}_n)$ (TG, IX, p. 19, cor., (i)). Soit $\mathscr{F}_n$ une partie dénombrable dense de $\mathscr{K}(X,\overline{U}_n)$.

Soit $f\in \mathscr{L}^p(X, \mu)$ et soit $\varepsilon >0$. Il existe un entier $n\in \mathbf{N}$ tel que $\int_{X-U_n}|f|^p< \varepsilon /2$, et il existe $g\in \mathscr{F}_n$ telle que $\int_{\overline{U}_n}|f-g|^p< \varepsilon /2$. La réunion des classes dans $L^p(X, \mu)$ des éléments des ensembles $\mathscr{F}_n$ est donc dense dans $L^p(X, \mu)$, ce qui conclut la démonstration (TG, IX, p. 18, prop. 12).

Soit $Z =\overset{-1}{g}(Y$ - S) l’ensemble en question.

Supposons d’abord que X est compact et $g$ continue. Dans ce cas, la mesure image $g(\mu)$ est définie (INT, V, p. 69, § 6, n$^o1$, déf. 1) puisque $\mu$ est une mesure bornée. Il résulte des définitions que l’image $\mu$-essentielle de $g$ est le support de la mesure $g(\mu) ($cf. INT, V, p. 70, § 6, n$^o2$, cor. 2), d’où $\mu(Z) =g(\mu)(Y$ - S) = 0 (INT, IV, p. 118, § 2, n$^o2$, prop. 5).

Considérons maintenant le cas général. Soit C un sous-ensemble compact de X, et soit $\varepsilon >0$ un nombre réel. Puisque $g$ est mesurable, il existe un sous-ensemble compact $C_1\subset C$ tel que $\mu(C$- $C_1)\leqslant \varepsilon$ et tel que $g|C_1$ est continue (INT, IV, p. 169, § 5, n$^o1$, prop. 1). On a alors

$\mu(Z\cap C)\leqslant \mu(C$ - $C_1) +\mu(Z\cap C_1)\leqslant \varepsilon +\mu(Z\cap C_1)$.

Soit $\mu_1$ la mesure induite par $\mu$ sur $C_1$ (INT, IV, p. 186, § 5, n$^o7$, déf. 4). Soit $S_1$ l’image $\mu_1$-essentielle de $g|C_1$. On a $Z\cap C_1\subset$ $(g|C_1)^{-1}(Y$ - $S_1)$. D’après le premier cas, l’ensemble $Z\cap C_1$ est donc $\mu_1$-négligeable, et par conséquent $\mu$-négligeable (INT, IV, p. 187, § 5, n$^o7$, lemme 2, (i)). L’inégalité ci-dessus devient $\mu(Z\cap C)\leqslant \varepsilon$; puisque $\varepsilon$ et C sont arbitraires, l’ensemble Z est localement $\mu$-négligeable (INT, IV, p. 172, § 5, n$^o2$, prop. 5).

Soit Y le support de $\mu$. Si $z\in \mathbf{C}$ n’est pas adhérent à $g$(Y), alors il existe un voisinage ouvert U de $z$ tel que l’ouvert $\overset{-1}{g}(U)$ ne rencontre pas Y et est donc localement $\mu$-négligeable ; cela signifie que $z$ n’appartient pas à l’image $\mu$-essentielle de $g$.

Réciproquement, si $z\in \mathbf{C}$ est adhérent à $g$(Y), alors pour tout voisinage ouvert U de $z$, l’ensemble $\overset{-1}{g}(U)$ est un ouvert dans X qui rencontre Y. Il n’est donc pas $\mu$-négligeable, et puisque c’est un ouvert, il n’est pas localement $\mu$-négligeable (INT, IV, p. 172, § 5, n$^o2$, cor. 2). Donc $z$ appartient à l’image $\mu$-essentielle de $g$.

Posons $h(x) = 1/g(x)$ si $g(x)\not = 0$ et $h(x) = 0$ sinon. La fonction $h$ appartient à $\mathscr{L}^{\infty}(X, \mu)$. Soit $\widetilde{h}$ la classe de $h$ dans $L^{\infty}(X, \mu)$. On a alors la formule $\delta^{-1}=\|\widetilde{h}\|_{\infty}$.

Soit U un voisinage ouvert de 0 tel que l’ouvert $Z =\overset{-1}{g}(U)$ est localement $\mu$-négligeable, donc négligeable (INT, IV, p. 172, § 5, n$^o2$, cor. 2). Soit Y le support de $\mu$; on a $Y\subset X$ - Z. La restriction de la fonction $h$ à X - Z est continue et bornée, donc $h\in \mathscr{L}^{\infty}(X, \mu)$ et la norme de $\widetilde{h}$ dans $\mathscr{L}^{\infty}(X, \mu)$ est égale à la norme de sa restriction à X - Z. De plus, pour tout $\alpha \in \mathbf{R}_+$, l’ensemble des $x\in X$ - Z tels que $|h(x)|> \alpha$ est un ouvert dans X - Z ; il est donc localement $\mu$-négligeable si et seulement s’il ne rencontre pas Y (INT, IV, loc. cit. et INT, III, p. 66, § 3, n$^o2$, déf. 1). Par conséquent, on a

$\|\widetilde{h}\|_{\infty}=$ sup$_{x\in Y}\frac{1}{|g(x)|}$,

d’où

$\|\widetilde{h}1\|=$ inf$_{\infty x\in Y}|g(x)|=$ inf$_{\lambda\in g(Y)}|\lambda |=$ inf$_{\lambda\in\overline{g(Y)}}|\lambda |$

qui est égal à $\delta$ d’après le lemme précédent.

Soit $\mu$ une mesure positive à support compact sur X et soit C son support. La restriction de $f$ à C est $(\mu|$C)-propre. L’application $g$ est mesurable relativement à la mesure image $(f|C)(\mu|C)$, donc l’application $(g\circ f)|C =g\circ (f|C)$ est $(\mu|$C)-mesurable. Par conséquent, l’application $g\circ f$ est $\mu$-mesurable. Le lemme en résulte.

On note $\mathscr{L}_u(X)$ l’espace vectoriel des fonctions à valeurs complexes qui sont universellement mesurables sur X et $\mathscr{L}_u^{\infty}(X)$ le sous-espace des fonctions $f\in \mathscr{L}_u(X)$ qui sont bornées sur X. Pour $f\in \mathscr{L}_u^{\infty}$(X), on note $\|f\|_{\infty}=$ sup$_{x\in X}|f(x)|$.

b) L’ensemble $\mathscr{L}_u^{\infty}(X)$ est une sous-algèbre de $\mathscr{L}_u(X)$ et l’application définie par $f\mapsto \|f\|_{\infty}$ est une norme sur $\mathscr{L}_u^{\infty}(X)$ pour laquelle $\mathscr{L}_u^{\infty}(X)$ est une algèbre stellaire unifère;

c) L’algèbre $\mathscr{L}_u(X)$ contient $\mathscr{C}(X)$ et $\mathscr{L}_u^{\infty}(X)$ contient $\mathscr{C}_b(X)$;

d) Toute fonction borélienne de X dans $\mathbf{C}$ (TG, IX, p. 61, déf. 5) appartient à $\mathscr{L}_u(X)$;

e) Pour toute suite $(f_n)_{n\in\mathbf{N}}$ dans $\mathscr{L}_u(X)$ qui converge simplement vers une fonction $f$ de X dans $\mathbf{C}$, on a $f\in \mathscr{L}_u(X)$.

Les assertions a) et c) résultent des définitions (cf. INT, IV, p. 175, § 5, n$^o3$, cor. 3). L’assertion d) est une conséquence de INT, IV, p. 179, § 5, n$^o5$, th. 4, puisque l’image réciproque par une fonction borélienne de toute partie borélienne de $\mathbf{C}$ est une partie borélienne de X, qui est universellement mesurable (INT, V, p. 28, § 3, n$^o4$). Enfin, l’assertion e) résulte du théorème d’Egoroff (INT, IV, p. 175, § 5, n$^o4$, th. 2).

Pour démontrer l’assertion b), il suffit de remarquer que e) implique, a fortiori, qu’une limite uniforme de fonctions universellement mesurables est universellement mesurable.

Il peut exister des fonctions universellement mesurables sur X qui ne sont pas boréliennes. En effet, si X est métrisable, la fonction caractéristique d’un sous-ensemble souslinien de X est universellement mesurable (cf. INT, IV, p. 171, § 5, n$^o1$, cor. 2) ; or, dans tout espace polonais non dénombrable, il existe un sous-ensemble souslinien qui n’est pas borélien (« théorème de Souslin » ; cela résulte de TG, IX, p. 120, exerc. 8 et du fait que pour tout espace polonais X non dénombrable, il existe une bijection borélienne $X\rightarrow \mathbf{N}^{\mathbf{N}}$ dont la réciproque est borélienne).

Soient $x\in X$ et U un voisinage ouvert relativement compact de $x$. L’ensemble N = U - $(U\cap \overset{-1}{g}(S))$ est $(\mu|$U)-négligeable. Pour tout entier $n\geqslant 1$, soit $V_n$ un ouvert tel que $N\subset V_n\subset U$ et $\mu(V_n-N)<1/n$ (INT, IV, p. 116, § 1, n$^o4$, prop. 19).

La restriction $\widetilde{g}$ de $g$ à U- $V_n$ est $\mu|(U$- $V_n$)-propre et son image est contenue dans S. Puisque $f$ est universellement mesurable, l’application $x\mapsto f(g(x))$ de U - $V_n$ dans $\mathbf{C}$ est mesurable par rapport à la mesure $\mu|(U$ - $V_n)$ (INT, V, p. 71, § 6, n$^o2$, prop. 3). L’application $h_n$ de X dans $\mathbf{C}$ telle que $h_n(x) = 0$ si $x \notin U$ - $V_n$ et $h_n(x) =f(g(x))$ si $x\in U$ - $V_n$ est donc $\mu$-mesurable (INT, IV, p. 193, § 5, n$^o10$, prop. 16).

Comme $h_n(x)\rightarrow h(x)$ pour $\mu$-presque tout $x\in U$, la restriction de $h$ à U est $\mu$-mesurable (INT, IV, p. 175, § 5, n$^o4$, th. 2). On conclut que $h$ est $\mu$-mesurable d’après le principe de localisation (INT, IV, p. 171, § 4, n$^o2$, prop. 4).

Notons $\widetilde{g}$ la classe de $g$ dans $L^{\infty}(X, \mu)$ et S l’image $\mu$-essentielle de $g$. Soit $z\in \mathbf{C}-$ S. Par définition, il existe un voisinage ouvert U de $z$ tel que $Y =\overset{-1}{g}(U)$ est localement $\mu$-négligeable. La fonction $h$ définie par $h(x) = (g(x)-z)^{-1}$ si $x \notin Y$, et $h(x) = 0$ si $x\in Y$, appartient alors à $\mathscr{L}^{\infty}(X, \mu)$. Sa classe $\widetilde{h}$ dans $L^{\infty}(X, \mu)$ vérifie $(\widetilde{g}-z)\widetilde{h}= 1$, puisque $(g(x)-z)h(x) = 1$ pour tout $x$ n’appartenant pas à l’ensemble localement $\mu$-négligeable Y. Donc $z\in \mathbf{C}-$ Sp($\widetilde{g}$).

Réciproquement, soit $z\in \mathbf{C}-$ Sp($\widetilde{g}$). Soit $h\in \mathscr{L}^{\infty}(X, \mu)$ une fonction dont la classe est l’inverse de $\widetilde{g}-z$ dans $L^{\infty}(X, \mu)$. Il existe un nombre réel $M>0$ tel que $|h(x)|\leqslant M$ localement $\mu$-presque partout, et de plus on a $(g(x)-z)h(x) = 1$ localement $\mu$-presque partout. Soit U la boule ouverte de centre $z$ et de rayon $M^{-1}$ dans $\mathbf{C}$; alors $\overset{-1}{g}(U)$ est contenu dans l’ensemble localement $\mu$-négligeable

donc $z\in \mathbf{C}-$ S. On a démontré le lemme.

Soit $f\in \mathscr{C}(S)$. La fonction $h=f\circ g$ est $\mu$-mesurable (lemme 5 de IV, p. 184) et bornée. Notons $f\widetilde{\circ}g$ sa classe dans $L^{\infty}(X, \mu)$. L’application $f\mapsto f\widetilde{\circ}g$ est un morphisme continu d’algèbres involutives unifères de $\mathscr{C}(S)$ dans $L^{\infty}(X, \mu)$. Puisque $g(x)$ appartient à S localement $\mu$-presque partout (lemme 1 de IV, p. 181 et lemme 6), ce morphisme associe à l’application identique de S la classe $\widetilde{g}$ de la fonction $g$. Il coïncide donc avec l’application de calcul fonctionnel de $\widetilde{g}$ (prop. 7 de I, p. 111).

Notons A l’ensemble des $x\in X$ tels que $g(x) = 0$.

Supposons que A est localement $\mu$-négligeable. Soit $f\in \mathscr{L}^p(X, \mu)$ et $\widetilde{f}$ sa classe dans $L^p(X, \mu)$. Supposons que $\widetilde{m}_g(\widetilde{f}) = 0$. Par définition, c’est le cas si et seulement si la fonction $f g$ est $\mu$-négligeable, de sorte que l’ensemble B des $x\in X$ tels que $f(x)g(x)\not = 0$ est $\mu$-négligeable. La fonction $f$ est nulle en dehors de $A\cup B$, donc est $\mu$-négligeable. Cela implique que l’endomorphisme $\widetilde{m}_g$ est injectif.

Réciproquement, supposons que A n’est pas localement $\mu$-négligeable. Soit C une partie compacte de X telle que $A\cap C$ n’est pas $\mu$-négligeable, et soit $\varphi$ la fonction caractéristique de $A\cap C$. La classe de la fonction $\varphi$ dans $L^p(X, \mu)$ n’est pas nulle, mais celle de $m_g(\varphi )$ l’est, donc $m_g$ n’est pas injectif.

Puisque le produit d’une fonction localement $\mu$-négligeable et d’une fonction $\mu$-négligeable est $\mu$-négligeable, l’endomorphisme $\widetilde{m}_g$ ne dépend que de la classe de $g$ dans $L^{\infty}(X, \mu)$. Pour $\widetilde{g}\in L^{\infty}(X, \mu)$, on note également $\widetilde{m}_g$ l’endomorphisme $\widetilde{m}_g$ de $L^p(X, \mu)$ pour toute fonction $g\in \mathscr{L}^{\infty}(X, \mu\widetilde{)}$ dont $\widetilde{g}$ est la classe. On dit que $\widetilde{m}_g$ est l’endomorphisme de multiplication par $\widetilde{g}$ dans $L^p(X, \mu)$.

Pour $a,b$ dans $\mathbf{C}$ et $g_1,g_2$ dans $L^{\infty}(X, \mu)$, on vérifie aussitôt que $\widetilde{m}_{ag_1+bg_2}=a\widetilde{m}g_1+b\widetilde{m}_{g_2}$, donc l’application $\widetilde{m}$ est linéaire. De plus, on a $\widetilde{m}_1= 1_{L^p(X,\mu)}$ et $\widetilde{m}_{g_1g_2}=\widetilde{m}_{g_1}\widetilde{m}_{g_2}$, donc l’application $\widetilde{m}$ est un morphisme d’algèbres unifères de $L^{\infty}(X, \mu)$ dans $\mathscr{L}(L^p(X, \mu))$.

La formule (1) ci-dessus démontre que $\widetilde{m}$ est de norme $\leqslant 1$.

Soient $g\in \mathscr{L}^{\infty}(X, \mu)$ et $\widetilde{g}$ sa classe dans $L^{\infty}(X, \mu)$. Soit $\varepsilon >$ 0. L’ensemble Y des $x\in X$ tels que $|g(x)|>\|\widetilde{g}\|_{\infty}-\varepsilon$ n’est pas localement $\mu$-négligeable. Il existe donc un sous-ensemble compact C de X tel que $\mu(Y\cap C)>0$. Soit $\varphi$ la fonction caractéristique de $Y\cap C$. Comme

il vient $\|\widetilde{m}_{\widetilde{g}}\|\geqslant \|\widetilde{g}\|_{\infty}-\varepsilon$. Puisque $\varepsilon$ est arbitraire, on en déduit que $\|\widetilde{m}_{\widetilde{g}}\|\geqslant \|\widetilde{g}\|_{\infty}$, ce qui démontre que $\widetilde{m}$ est isométrique.

Soit $f\in \mathscr{L}^p(X, \mu)$. La suite $(g_nf)$ est bornée dans $\mathscr{L}^p(X, \mu)$ et converge simplement $\mu$-presque partout vers $gf$. D’après le théorème de Lebesgue (INT, IV, p. 137, § 3, n$^o7$, th. 6), la suite $(g_nf)$ converge vers $gf$ dans $\mathscr{L}^p(X, \mu)$, et l’assertion en résulte.

On va considérer maintenant le cas où $p= 2$.

En particulier, pour tout $g\in L^{\infty}(X, \mu)$, l’endomorphisme de multiplication $\widetilde{m}_g$ est normal; il est hermitien si et seulement si $g$ est localement $\mu$-presque partout à valeurs réelles.

D’après la prop. 5, l’application $\widetilde{m}$ est un morphisme injectif et isométrique d’algèbres de Banach unifères de $L^{\infty}(X, \mu)$ dans $\mathscr{L}(L^2(X, \mu))$. Soit $g\in \mathscr{L}^{\infty}(X, \mu)$. Pour $f_1$ et $f_2\in \mathscr{L}^2(X, \mu)$, on a

dont il résulte que $\widetilde{m}^*_g=\widetilde{m}_{\overline{g}}$, ce qui démontre que $m$ est un morphisme involutif. Les dernières assertions en résultent (cf. I, p. 106, prop. 5).

a) Le spectre de $\widetilde{m}_g$ dans $\mathscr{L}(L^2(X, \mu))$ est l’image $\mu$-essentielle de $g$;

b) L’endomorphisme $\widetilde{m}_g$ est positif si et seulement si $g$ est localement $\mu$-presque partout à valeurs positives;

c) Pour toute fonction $f\in \mathscr{C}$ (Sp($\widetilde{m}_g$)), on a $f(\widetilde{m}_g) =\widetilde{m}_{f\circ g}$.

Puisque $\widetilde{m}$ est injective, on a Sp($\widetilde{m}_g$) $=$ Sp($g$) d’après la prop. 5 de I, p. 106 ; le résultat découle alors du lemme 6 de IV, p. 185, de la proposition 4 de IV, p. 185 et de la définition 6 de I, p. 115.

Il suffit de démontrer que si $u\in \mathscr{L}(L^2(X, \mu))$ est un endomorphisme qui commute à $\widetilde{m}_g$ pour toute fonction $g\in \mathscr{L}^{\infty}(X, \mu)$, alors $u$ appartient à l’image de $\widetilde{m}$. Soit $u$ un tel endomorphisme.

On note $\widetilde{f}$ la classe dans $L^2(X, \mu)$ d’une fonction $f\in \mathscr{L}^2(X, \mu)$. Notons $v$ l’application linéaire de $\mathscr{L}^2(X, \mu)$ dans $L^2(X, \mu)$ définie par $f\mapsto u(\widetilde{f})$. On a $v\circ m_g=\widetilde{m}_g\circ v$ pour tout $g\in \mathscr{L}^{\infty}(X, \mu)$.

Pour toute partie $\mu$-mesurable Y de X, on note $\varphi_Y$ sa fonction caractéristique ; l’endomorphisme $\widetilde{m}_{\varphi_Y}$ est un orthoprojecteur de $L^2(X, \mu)$.

Supposons d’abord que X est compact, de sorte que la classe de la fonction constante 1 appartient à $L^2(X, \mu)$. Soit $g$ une fonction dans $\mathscr{L}^2(X, \mu)$ dont la classe dans $L^2(X, \mu)$ est $v(1)$.

Soient $c$ un nombre réel positif et Y l’ensemble des $x\in X$ tels que $|g(x)|\geqslant c$; c’est un ensemble $\mu$-mesurable. On a dans $L^2(X, \mu)$ les égalités $\varphi_{\widetilde{Y}}g=\widetilde{m}_{\varphi_Y}(v(1)) =v(m_{\varphi_Y}(1)) =v(\varphi_Y)$.

Comme de plus $|c\varphi_Y|\leqslant |g\varphi_Y|$, on obtient

Cette inégalité implique que $\mu(Y) = 0$ si $c >\|u\|$, de sorte que la fonction $g$ est bornée $\mu$-presque partout par $\|u\|$. Pour toute fonction $f\in \mathscr{C}$(X), on a enfin

d’où l’égalité $u=\widetilde{m}_g$, et en particulier $N_{\infty}(g) =\|u\|$.

Considérons maintenant le cas général. Il existe une famille localement dénombrable $(X_i)_{i\in I}$ de parties compactes deux à deux disjointes de X telle que Z = X $-\bigcup_{i\in I}X_i$ est localement $\mu$-négligeable (INT, IV, p .190, § 5, n$^o9$, prop. 14). Notons $\mu_i$ la mesure induite par $\mu$ sur $X_i$ (INT, IV, p. 186, § 5, n$^o7$, déf. 4).

D’après la prop. 1 de IV, p. 179, pour tout $i\in I$, l’image $E_i$ de $\widetilde{m}_{\varphi_{Xi}}$ s’identifie à $L^2(X_i, \mu_i)$ par $f\mapsto f|X_i$. Pour toute fonction $g\in \mathscr{L}^{\infty}(X, \mu)$, l’endomorphisme de multiplication $\widetilde{m}_g$ commute avec $\widetilde{m}_{\varphi_{Xi}}$, donc laisse stable $E_i$, et l’endomorphisme de $E_i$ déduit de $\widetilde{m}_g$ par passage aux sous-espaces coïncide avec l’endomorphisme de multiplication par $g|X_i$ sur $L^2(X_i, \mu_i)$.

Comme $u$ commute avec $m_{\varphi_{Xi}}$, il laisse également stable le sous-espace $E_i$. Notons $u_i$ l’endomorphisme de $L^2(X_i, \mu_i)$ déduit de $u$ par passage aux sous-espaces.

L’application de $\mathscr{L}^{\infty}(X, \mu)$ dans $\mathscr{L}^{\infty}(X_i, \mu_i)$ définie par $g\mapsto g|X_i$ étant surjective, l’hypothèse implique que $u_i$ commute avec $\widetilde{m}_g$ pour toute fonction $g\in \mathscr{L}^{\infty}(X_i, \mu_i)$. D’après la première partie de la démonstration, il existe une fonction $g_i\in \mathscr{L}^{\infty}(X_i, \mu_i)$ telle que $u_i=\widetilde{m}_{g_i}$ et $N_{\infty}(g_i)\leqslant \|u_i\|\leqslant \|u\|$.

La fonction $g$ sur X qui coïncide avec $g_i$ sur $X_i$ et qui est nulle sur Z est bornée et $\mu$-mesurable (INT, IV, p. 193, § 5, n$^o10$, prop. 16) donc $g\in \mathscr{L}^{\infty}(X, \mu)$. Pour tout $i\in I$, la restriction de $u$ à $E_i$ coïncide avec celle de $\widetilde{m}_g$; on a $u=m_g$ par conséquent d’après la prop. 1, c) de IV, p. 179.