On a $|\lambda_i|\leqslant \|u\|$ pour tout $i$, d’où sup$_{i\in I}|\lambda_i|\leqslant \|u\|$. Comme de plus

$\|u(x)\|^2=\sum_{i\in I}|\lambda_i|^2|\langle e_i|x\rangle |^2\leqslant ($sup$_{i\in I}|\lambda_i|^2)\|x\|^2$

pour tout $x\in E$ (EVT, V, p. 22, prop. 5), il vient $\|u\|=$ sup$|\lambda_i|$.

b) Pour toute famille bornée $\lambda = (\lambda_i)_{i\in I}$, la famille $(\lambda_ip_i)_{i\in I}$ est sommable dans l’espace $\mathscr{L}(E)$ muni de la topologie de la convergence simple, et la somme de cette famille est l’unique application $u\in \mathscr{D}_B(E)$ telle que $\alpha (u) =\lambda$;

c) Soit $u\in \mathscr{D}_B(E)$ et soit $\lambda$ la famille de ses valeurs propres relativement à B. Le spectre de $u$ est l’adhérence dans K de l’ensemble des valeurs de $\lambda$;

d) Si K = $\mathbf{C}$, alors l’application de calcul fonctionnel continu de $\mathscr{C}$ (Sp($u$)) dans $\mathscr{L}(E)$ associe à une fonction continue $f\in \mathscr{C}$ (Sp($u$)) l’endomorphisme $\alpha (f\circ \lambda )$ dans $\mathscr{D}_B(E)$.

D’après le lemme 1, la famille des valeurs propres d’un endomorphisme diagonal dans B est bornée et l’application de $\mathscr{D}_B(E)$ dans $\mathscr{B}(I)$ ainsi définie est un morphisme continu isométrique d’algèbres de Banach unifères.

Soit $i\in I$. Pour tout $j\in I$, on a $\langle u^*(e_i)|e_j\rangle =\lambda_j\langle e_i|e_j\rangle =\langle \overline{\lambda_j}e_i|e_j\rangle$. Il en résulte que $u^*(e_i) =\overline{\lambda}_ie_i$. L’adjoint de $u$ est donc l’endomorphisme diagonal dans la base B dont $(\lambda_i)_{i\in I}$ est la famille des valeurs propres. L’assertion a) en résulte.

Soit $\lambda = (\lambda_i)_{i\in I}\in \mathscr{B}(I)$. Pour tout $x\in E$, la famille $(|\langle e_i|x\rangle |^2)_{i\in I}$ est sommable, de somme $\|x\|^2$ (EVT, V, p. 22, prop. 5), d’où, pour tout sous-ensemble fini J de I :

$\|\sum_{i\in J}\lambda_ip_i(x)\|^2=\sum_{i\in J}|\lambda_i|^2|\langle e_i|x\rangle |^2\leqslant ($sup$_{i\in I}|\lambda_i|^2)(\sum_{j\in J}|\langle e_i|x\rangle |^2$

$\leqslant ($sup$_{i\in I}|\lambda_i|)^2\|x\|^2$.

Par conséquent, la famille $(\lambda_ip_i)$ est sommable dans $\mathscr{L}(E)$ muni de la topologie de la convergence simple. Sa somme $u_{\lambda}$ vérifie $u_{\lambda}(e_i) =\lambda_ie_i$; c’est donc un endomorphisme diagonal dans la base B, de valeurs propres $\lambda$. L’assertion b) en résulte.

Les dernières assertions résultent de a), de l’exemple 3 de I, p. 17 et de l’exemple 4 de I, p. 111.

a) Les conditions suivantes sont équivalentes:

(i) On a $\lambda \in \mathscr{C}_0(I; K)$;

(ii) L’endomorphisme $u$ est compact ;

(iii) La famille $(\lambda_ip_i)_{i\in I}$ est sommable dans l’espace de Banach

$\mathscr{L}(E)$. Sa somme est alors égale à $u$.

b) Supposons que $u$ est compact et notons Λ l’ensemble des valeurs de $\lambda$. L’ensemble des $i\in I$ tels que $\lambda_i\not = 0$ est dénombrable. Si E est de dimension infinie, on a Sp$_s(u) = \Lambda -\{0\}$ et Sp($u$) $= \Lambda \cup \{0\}$. Si E est de dimension finie, alors Sp$_s(u) =$ Sp($u$) $= \Lambda$.

D’après le lemme 1, on a $\|\sum_{j\in J}\lambda_jp_j\|=$ sup$_{j\in J}|\lambda_j|$ pour toute partie finie J de I. Il en résulte, d’après le critère de Cauchy, que la famille $(\lambda_ip_i)$ est sommable dans $\mathscr{L}(E)$ si et seulement si la famille $\lambda$ tend vers 0 à l’infini, ce qui implique que les conditions (i) et (iii) sont équivalentes.

La condition (iii) implique que $u$ est compact (corollaire de la proposition 2 de III, p. 4). Réciproquement, supposons que l’endomorphisme $u$ est compact. La famille B étant bornée dans E, son image par $u$ dans E est relativement compacte dans E (III, p. 2), donc précompacte. Soit $\varepsilon >0$ et J un sous-ensemble fini de I tel que l’image de B par $u$ est contenue dans la réunion des boules de rayon $\varepsilon$ et de centre $u(e_j)$ pour $j\in J$. Soit $i\in I$ - J. Il existe $j\in J$ tel que $\|u(e_i)-u(e_j)\|\leqslant \varepsilon$, donc

Par conséquent, on a $\lambda \in \mathscr{C}_0(I; K)$, c’est-à-dire la condition (i).

Enfin, le spectre de $u$ et son spectre sensible sont calculés en fonction de $\lambda$ en utilisant la prop. 1, c) et la proposition 5 de III, p. 90.

L’ensemble Sp$_s(u)$ est dénombrable, et il ne contient pas 0 si E est de dimension infinie (III, p. 90, prop. 5, b)). Pour tout élément $\lambda \in$ Sp$_s(u)$, notons $N_{\lambda}$ le nilespace de $u-\lambda 1_E$. Il est de dimension finie (loc. cit.) et, puisque $u$ est normal, il coïncide avec l’espace propre de $u$ relatif à $\lambda$ (EVT, V, p. 43, cor. de la prop. 8). Les espaces $N_{\lambda}$ sont deux à deux orthogonaux (I, p. 132, n$^o5$).

Soit F le sous-espace de E somme hilbertienne des espaces $N_{\lambda}$ pour $\lambda \in$ Sp$_s(u)-\{0\}$. C’est un espace de type dénombrable, stable par $u$ puisque chaque sous-espace $N_{\lambda}$ est stable par $u$. Comme $N_{\lambda}$ est aussi l’espace propre de $u^*$ relatif à $\overline{\lambda}$ (EVT, V, loc. cit.), l’endomorphisme $u$ induit un endomorphisme $\widetilde{u}$ de $F^{\circ}$ par passage aux sous-espaces. L’endomorphisme $\widetilde{u}$ est compact (prop. 3 de III, p. 5) et normal (lemme 4 de I, p. 135). Par construction, le spectre sensible de $\widetilde{u}$ est contenu dans $\{0\}$ (en effet, tout vecteur propre pour $\widetilde{u}$ en serait un pour $u$, donc appartiendrait à l’un des espaces $N_{\lambda}$ si la valeur propre correspondante était non nulle). Ainsi le rayon spectral de $\widetilde{u}$ est nul, d’où $\widetilde{u}= 0$ puisque $\widetilde{u}$ est normal (cor. 1 de I, p. 108). On a donc $F^{\circ}\subset$ Ker($u$).

Pour tout $\lambda \in$ Sp$_s(u)$, soit $B_{\lambda}$ une base orthonormale de $N_{\lambda}$ et $(e_j)_{j\in J}$ la famille réunion des $B_{\lambda}$; c’est une base orthonormale de F. Soit B la réunion de $(e_j)_{j\in J}$ et d’une base orthonormale de $F^{\circ}$. C’est une base orthonormale de E et $u$ est diagonal dans la base B.

Si $K =\mathbf{C}$, cela résulte aussitôt du théorème. Supposons $K =\mathbf{R}$. L’espace E est une $\mathbf{R}$-structure sur $E_{(\mathbf{C})}($cf. A, II, p. 119). L’endomorphisme $u_{(\mathbf{C})}$ de $E_{(\mathbf{C})}$ est compact (remarque 4 de III, p. 2) et hermitien. Soient $B = (e_j)_{j\in J}$ une base orthonormale de $E_{(\mathbf{C})}$ telle que $u_{(\mathbf{C})}\in \mathscr{D}_B(E_{(\mathbf{C})})$ et $\lambda$ la famille des valeurs propres de $u_{(\mathbf{C})}$ (théorème 1). On a $\lambda \in \mathbf{R}^J($I, p. 106, prop. 4) ; comme l’application linéaire $u_{(\mathbf{C})}$ est $\mathbf{R}$-rationnelle, le sous-espace propre de $u_{(\mathbf{C})}$ relatif à $\lambda_j$ est $\mathbf{R}$-rationnel pour tout $j\in J ($cf. A, V, p. 60, prop. 6). Il en existe donc une base appartenant à E, et a fortiori, il en existe une base orthonormale dans E. La réunion de ces bases est une base orthonormale $B_{\mathbf{R}}$ de E telle que $u\in \mathscr{D}_{B_{\mathbf{R}}}(E)$.

Soit $v=u^*\circ u$. C’est un endomorphisme compact (III, p. 5, prop. 3) et positif, donc hermitien, de E. D’après le corollaire 1, il existe une base orthonormale $(e_j)_{j\in J}$ de E telle que $v$ est diagonal dans cette base. La famille $(\lambda_j)_{j\in J}$ de ses valeurs propres est contenue dans $\mathbf{R}_+^J$. Posons $\alpha_j=\surd\overline{\lambda_j}$ pour tout $j\in J$. Soit I l’ensemble des $j\in J$ tels que $\alpha_j\not = 0$. C’est un ensemble dénombrable puisque $v$ est compact. La famille $(e_i)_{i\in I}$ est une base orthonormale de l’espace initial de $v$, qui est l’espace initial Ker($u$)$^{\circ}$ de $u$ (EVT, V, p. 43, prop. 8). Posons $f_i=\frac{1}{\alpha_i}u(e_i)$ pour $i\in I$. Quels que soient $i$ et $j$ dans I, on a

d’où il résulte que la famille $(f_i)_{i\in I}$ est orthonormale dans F. Le corollaire en résulte, puisque $u(e_i) =\alpha_if_i$ pour tout $i\in I$.

Soit $B = (f_j)_{j\in J}$ une base orthonormale de E dans laquelle $u$ est diagonal (cor. 1 de IV, p. 150) et $(\lambda_j)_{j\in J}$ la famille des valeurs propres de $u$ dans la base B. Soit $J'$ l’ensemble des $j\in J$ tels que $\lambda_j$ appartient au spectre sensible de $u$.

Pour chaque $\lambda \in$ Sp$_s(u)$, il existe une bijection entre les entiers $n$ tels que $0\leqslant n <M$ et $\lambda_n(u) =\lambda$ et les $j\in J'$ tels que $\lambda_j=\lambda$, car ces deux ensembles ont comme cardinal la multiplicité spectrale de $\lambda$. Un choix de telles bijections pour tout $\lambda$ définit une bijection $\iota$ de l’ensemble des entiers tels que $0\leqslant n <M$ dans l’ensemble $J'$. On définit la suite $(e_n)_{0\leqslant n<M}$ dans E en posant $e_n=f_{\iota(n)}$ pour $0\leqslant n <M$. C’est une famille orthonormale dans E.

Dans le cas où M $<$ Card(I) $= +\infty$, l’espace F engendré par $\{e_0, . . . , e_{M-1}\}$ est de dimension finie et son orthogonal $F^{\circ}$ est de dimension infinie ; on choisit pour $(e_n)_{n\geqslant M}$ une famille orthonormale dans $F^{\circ}$.

Pour tout $x\in E$, on a

puisque $u(f_j) = 0$ lorsque $j\in J$ - $J'$. Si $n\in I$ vérifie $n\geqslant M$, on a $\lambda_n(u) = 0$, et on obtient la première formule de la proposition. La seconde en résulte.

L’endomorphisme $f(u)$ est compact et positif et, pour tout $n\in I_E$, on a $\lambda_n(f(u)) =f(\lambda_n(u))$.

L’endomorphisme $f(u)$ est compact et positif d’après la prop. 6, b) de III, p. 91 et la prop. 15, a) de I, p. 117. Le spectre de $f(u)$ est l’image par $f$ du spectre de $u$ (cor. 2 de I, p. 111). Si $\lambda \in$ Sp$_s(f(u))$, la multiplicité spectrale de $\lambda$ est la somme des multiplicités spectrales des $\mu\in$ Sp($u$) tels que $f(\mu) =\lambda$ (cor. 2 de III, p. 84). Comme $f$ est croissante, la suite $(f(\lambda_n(u)))_{n\in I_E}$ est décroissante. L’assertion résulte alors de la définition de la suite $(\lambda_n(f(u)))_{n\in I_E}$.

a) Pour tout sous-espace $F\in \mathscr{F}_{n+1}$ adapté à $u$, on a $\lambda_n(u) =r_F(u)$;

b) Pour tout sous-espace $F\in \mathscr{F}_n$ adapté à $u$, on a $\lambda_n(u) = R_F(u)$.

Soit $F\in \mathscr{F}_{n+1}$ un sous-espace adapté à $u$, et $(f_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ une base orthonormale de F telle que $u(f_i) =\lambda_i(u)f_i$ pour tout $i$. Pour tout $x$ dans F, on a

avec égalité si $x=f_n$. Cela implique que $r_F(u) =\lambda_n(u)$, d’où l’assertion a).

Soit $F\in \mathscr{F}_n$ un sous-espace adapté à $u$. Le sous-espace fermé $F^{\circ}$ est non nul (car $n=$ dim(F) $<$ dim(E)) et stable par $u$; l’endomorphisme $\widetilde{u}$ de $F^{\circ}$ déduit de $u$ par passage aux sous-espaces est compact et positif.

On a Sp($\widetilde{u}$)$\subset$ Sp($u$). On a de plus Sp($\widetilde{u}$)$\subset [0, \lambda_n(u)]$. En effet, il suffit de vérifier que $\lambda \leqslant \lambda_n(u)$ pour tout $\lambda \in$ Sp$_s(\widetilde{u})$. Le nombre $\lambda$ est alors une valeur propre de $u$, donc il existe $j\in I$ tel que $\lambda =\lambda_j(u)$. L’espace propre de $u$ relatif à $\lambda_j(u)$ n’est donc pas contenu dans F, ce qui implique que $\lambda_j(u)\leqslant \lambda_n(u)$.

Supposons que $\lambda_n(u)>0$. L’espace propre de $u$ relatif à $\lambda_n(u)$ n’est alors pas contenu dans F, et $\lambda_n(u)$ appartient donc au spectre sensible de $\widetilde{u}$. On en déduit que sup(Sp($\widetilde{u}$)) $=\lambda_n(u)$. Si $\lambda_n(u) = 0$, on a le même résultat puisque le spectre de $\widetilde{u}$ est alors réduit à $\{0\}$.

Par ailleurs, on a par définition $R_F(u) = R_{\{0\}}(\widetilde{u})$, et finalement $R_{\{0\}}(\widetilde{u}) =$ sup(Sp($\widetilde{u}$)) d’après la prop. 9 de I, p. 139, a). L’assertion b) est démontrée.

$\lambda_n(u) =$ sup$_{F\in\mathscr{F}_{n+1}}r_F(u) =$ inf$_{F\in\mathscr{F}_n}R_F(u)$.

Soit $(e_n)_{n\in I}$ une famille orthonormale ayant la propriété de la prop. 3 de IV, p. 152. Pour tout entier tel que $1\leqslant n <M + 1$, soit $F_n\in \mathscr{F}_n$ le sous-espace de dimension $n$ de E engendré par $(e_0, . . . , e_{n-1})$; par construction, l’espace $F_n$ est adapté à $u$. D’après la prop. 5, on a donc

Soit $n\in I$. Soit $F\in \mathscr{F}_{n+1}$. La restriction à F de l’orthoprojecteur sur $F_n$ n’est pas injective, donc il existe $x\not = 0$ dans F orthogonal à $F_n$. Comme $x\in F^{\circ}_n$, on a alors (prop. 3 de IV, p. 152)

$m\geqslant n$

Cela démontre que $r_F(u)\leqslant \lambda_n(u)$, d’où en particulier l’inégalité

(3) Fsup$_{\in\mathscr{F}_{n+1}}r_F(u)\leqslant \lambda_n(u)$.

Soit $F\in \mathscr{F}_n$. La restriction à $F_{n+1}$ de l’orthoprojecteur sur F n’est pas injective, donc il existe un vecteur $x\not = 0$ dans $F_{n+1}$ orthogonal à F. Comme $x\in F_{n+1}$, on a (loc. cit.)

et donc $R_F(u)\geqslant \lambda_n(u)$. En particulier, il vient

(4) Finf$_{\in\mathscr{F}_n}R_F(u)\geqslant \lambda_n(u)$.

Au vu des formules (2), (3) et (4), la proposition est démontrée.

a) On a $|\lambda_n(u)-\lambda_n(v)|\leqslant \|u-v\|$ pour tout $n\in I$;

b) Si $u\leqslant v$, alors $\lambda_n(u)\leqslant \lambda_n(v)$ pour tout $n\in I$.

Soit $n\in I$ et soit F un sous-espace vectoriel de dimension $n$ de E. Pour tout $x\in F$, on a

donc les inégalités

L’assertion a) en découle d’après la proposition 6 de IV, p. 154.

Si $u\leqslant v$, on a $\langle x|u(x)\rangle \leqslant \langle x|v(x)\rangle$ pour tout $x\in E$. Pour tout $n\in I$ et tout sous-espace F de dimension $n$, on a donc $R_F(u)\leqslant R_F(v)$, d’où $\lambda_n(u)\leqslant \lambda_n(v) ($loc. cit.).

a) On a $I_H\subset I_E$ et $\lambda_n(u_H)\leqslant \lambda_n(u)$ pour tout $n\in I_H$;

b) Si H est de codimension finie $k\in \mathbf{N}$ dans E, alors on a $I_H+k\subset I_E$ et $\lambda_{n+k}(u)\leqslant \lambda_n(u_H)$ pour tout $n\in I_H$.

L’endomorphisme $u_H$ est compact (prop. 3 de III, p. 5). Il est positif car $\langle x|u_H(x)\rangle =\langle i_H(x)|u(i_H(x))\rangle \geqslant 0$ pour tout $x\in H$.

Soit $n\in I_H\subset I_E$. Soit F un sous-espace de dimension $n+ 1$ de H adapté à $u_H$. On a donc $\lambda_n(u_H) =r_F(u_H)$ (prop 5 de IV, p. 153, a)), et comme de plus $r_F(u_H) =r_F(u)\leqslant \lambda_n(u)$ (prop. 6 de IV, p. 154), on obtient l’assertion a).

Supposons que H est de codimension $k\in \mathbf{N}$ dans E et que $n\in I_H$. Soit F un sous-espace de H de dimension $n$ adapté à $u_H$. Son orthogonal dans H est égal à $H\cap F^{\circ}$, et c’est l’orthogonal dans E du sous-espace $F + H^{\circ}$ de dimension $n+k$. Donc $n+k\in I_E$ et (prop 5 de IV, p. 153, b))

$\lambda_n(u_H) =$ sup $\frac{\langle x|u_H(x)\rangle}{2}= R_{F+H^{\circ}}(u)$

$x\not =0$

d’où $\lambda_n(u_H)\leqslant \lambda_{n+k}(u)$ (prop. 6 de IV, p. 154).

a) Pour $n\in I_E$, on a

$\alpha_n(u) =$ sup$_{F\in\mathscr{F}_{n+1}}$ inf$_{x\in F-\{0\}}\frac{\|u(x)\|}{\|x\|}=$ inf$_{F\in\mathscr{F}_n}$ sup$_{x\in F^{\circ-}\{0\}}\frac{\|u(x)\|}{\|x\|}$.

b) Soit J l’ensemble des $n\in I_E$ tels que $\alpha_n(u)\not = 0$. Il existe des familles orthonormales $(e_n)_{n\in J}$ dans E et $(f_n)_{n\in J}$ dans F telles que pour tout $x\in E$, on a

Comme $\langle x|u^*u(x)\rangle =\|u(x)\|^2$ pour tout $x\in E$, les définitions et la prop. 6 de IV, p. 154, a), impliquent l’égalité de la première assertion.

Soit $(e_n)_{n\in I_E}$ une famille orthonormale de E vérifiant les conclusions de la prop. 3 de IV, p. 152 appliquée à l’endomorphisme compact positif $u^*\circ u$ de E. Posons $f_n=\alpha^{-1}_nu(e_n)$ pour $n\in J$. En raisonnant comme dans la preuve du corollaire 2 de IV, p. 150, on obtient l’assertion c).