Chapitre IV

Théorie spectrale hilbertienne

Pour tout espace vectoriel E, on note $1_E$ l’application identique de E. Si E, F et G sont des espaces vectoriels et si $v: E\rightarrow F$ et $u: F\rightarrow G$ sont des applications linéaires, l’application linéaire $u\circ v$ de E dans G sera parfois notée $uv$.

Soit E un espace préhilbertien. On note $\langle x|y\rangle_E$, ou simplement $\langle x|y\rangle$, le produit scalaire sur E. L’orthogonal d’un sous-ensemble A de E est noté $A^{\circ}$. C’est un sous-espace fermé de E ; il est réduit à 0 si et seulement si A est total dans E (EVT, V, p. 16, cor. 1). Si $F\subset E$ est un sous-espace vectoriel de E, on a $F^{\circ \circ}= F ($cf. EVT, V, p. 13). Le spectre d’un endomorphisme de E est toujours relatif à l’algèbre de Banach $\mathscr{L}(E)$.

Soit F un espace hilbertien. On notera $\mathscr{L}_1(E)$ l’espace des endomorphismes de trace finie de E (EVT, V, p. 50, déf. 8) et $\mathscr{L}_2(E; F)$ l’espace des applications de Hilbert–Schmidt de E dans F (EVT, V, p. 51, déf. 9). L’application $u\mapsto \|u\|_2=$ (Tr($u^*u$))$^{1/2}$ est une norme hilbertienne sur $\mathscr{L}_2(E; F)$ (EVT, V, p. 52, th. 1, (i)).

L’espace $\mathscr{L}^f(E; F)$ des applications linéaires continues de rang fini est dense dans $\mathscr{L}^c(E; F)$ (prop. 10 de III, p. 15 et cor. de la prop. 11 de III, p. 16). En particulier, l’espace $\mathscr{L}_2(E; F)$ est dense dans $\mathscr{L}^c(E; F)$.

Le produit tensoriel hilbertien de E et F (EVT, V, p. 28, déf. 1) est noté $E\widehat{\otimes}_2F$.

Si X est un espace topologique localement compact et $\mu$ une mesure sur X, on notera $\mathscr{L}^p(X, \mu) =\mathscr{L}_{\mathbf{C}}^p(X, \mu)$ et $L^p(X, \mu) = L^p_{\mathbf{C}}(X, \mu)$ pour $p\in [1,+\infty ]$.