Chương IV

Lý thuyết phổ Hilbert

Với mọi không gian vectơ E, ta ký hiệu bởi $1_E$ ánh xạ đồng nhất của E. Nếu E, F và G là các không gian vectơ và nếu $v: E\rightarrow F$ và $u: F\rightarrow G$ là các ánh xạ tuyến tính, thì ánh xạ tuyến tính $u\circ v$ từ E vào G đôi khi sẽ được ký hiệu bởi $uv$.

Cho E là một không gian tiền Hilbert. Ta ký hiệu bởi $\langle x|y\rangle_E$, hoặc đơn giản bởi $\langle x|y\rangle$, tích vô hướng trên E. Trực giao của một tập con A của E được ký hiệu bởi $A^{\circ}$. Đó là một không gian con đóng của E; nó thu về 0 khi và chỉ khi A là toàn phần trong E (EVT, V, p. 16, hệ quả 1). Nếu $F\subset E$ là một không gian con vectơ của E, ta có $F^{\circ \circ}= F ($xem EVT, V, p. 13). Phổ của một tự đồng cấu của E luôn được hiểu đối với đại số Banach $\mathscr{L}(E)$.

Cho F là một không gian Hilbert. Ta sẽ ký hiệu bởi $\mathscr{L}_1(E)$ không gian các tự đồng cấu vết hữu hạn của E (EVT, V, p. 50, déf. 8) và bởi $\mathscr{L}_2(E; F)$ không gian các ánh xạ Hilbert–Schmidt từ E vào F (EVT, V, p. 51, déf. 9). Ánh xạ $u\mapsto \|u\|_2=$ (Tr($u^*u$))$^{1/2}$ là một chuẩn Hilbert trên $\mathscr{L}_2(E; F)$ (EVT, V, p. 52, th. 1, (i)).

Không gian $\mathscr{L}^f(E; F)$ các ánh xạ tuyến tính liên tục hạng hữu hạn là trù mật trong $\mathscr{L}^c(E; F)$ (mệnh đề 10 của III, p. 15 và hệ quả của mệnh đề 11 của III, p. 16). Đặc biệt, không gian $\mathscr{L}_2(E; F)$ là trù mật trong $\mathscr{L}^c(E; F)$.

Tích tenxơ Hilbert của E và F (EVT, V, p. 28, déf. 1) được ký hiệu bởi $E\widehat{\otimes}_2F$.

Nếu X là một không gian tôpô compact địa phương và $\mu$ là một độ đo trên X, ta sẽ ký hiệu $\mathscr{L}^p(X, \mu) =\mathscr{L}_{\mathbf{C}}^p(X, \mu)$ và $L^p(X, \mu) = L^p_{\mathbf{C}}(X, \mu)$ với $p\in [1,+\infty ]$.