Ta có $|\lambda_i|\leqslant \|u\|$ với mọi $i$, do đó sup$_{i\in I}|\lambda_i|\leqslant \|u\|$. Hơn nữa, vì

$\|u(x)\|^2=\sum_{i\in I}|\lambda_i|^2|\langle e_i|x\rangle |^2\leqslant ($sup$_{i\in I}|\lambda_i|^2)\|x\|^2$

với mọi $x\in E$ (EVT, V, p. 22, mệnh đề 5), suy ra $\|u\|=$ sup$|\lambda_i|$.

b) Với mọi họ bị chặn $\lambda = (\lambda_i)_{i\in I}$, họ $(\lambda_ip_i)_{i\in I}$ là khả tổng trong không gian $\mathscr{L}(E)$ được trang bị tôpô hội tụ đơn giản, và tổng của họ này là ánh xạ duy nhất $u\in \mathscr{D}_B(E)$ sao cho $\alpha (u) =\lambda$;

c) Cho $u\in \mathscr{D}_B(E)$ và gọi $\lambda$ là họ các giá trị riêng của nó đối với B. Phổ của $u$ là bao đóng trong K của tập hợp các giá trị của $\lambda$;

d) Nếu K = $\mathbf{C}$, thì ánh xạ của phép tính phiếm hàm liên tục từ $\mathscr{C}$ (Sp($u$)) vào $\mathscr{L}(E)$ gắn với một hàm liên tục $f\in \mathscr{C}$ (Sp($u$)) tự đồng cấu $\alpha (f\circ \lambda )$ trong $\mathscr{D}_B(E)$.

Theo Bổ đề 1, họ các giá trị riêng của một tự đồng cấu chéo theo B là bị chặn và do đó ánh xạ từ $\mathscr{D}_B(E)$ vào $\mathscr{B}(I)$ được xác định như vậy là một cấu xạ đẳng cự liên tục của các đại số Banach có đơn vị.

Cho $i\in I$. Với mọi $j\in I$, ta có $\langle u^*(e_i)|e_j\rangle =\lambda_j\langle e_i|e_j\rangle =\langle \overline{\lambda_j}e_i|e_j\rangle$. Suy ra $u^*(e_i) =\overline{\lambda}_ie_i$. Do đó liên hợp của $u$ là tự đồng cấu chéo theo cơ sở B mà họ các giá trị riêng là $(\lambda_i)_{i\in I}$. Khẳng định a) được suy ra.

Cho $\lambda = (\lambda_i)_{i\in I}\in \mathscr{B}(I)$. Với mọi $x\in E$, họ $(|\langle e_i|x\rangle |^2)_{i\in I}$ là khả tổng, với tổng bằng $\|x\|^2$ (EVT, V, p. 22, mệnh đề 5), do đó, với mọi tập con hữu hạn J của I:

$\|\sum_{i\in J}\lambda_ip_i(x)\|^2=\sum_{i\in J}|\lambda_i|^2|\langle e_i|x\rangle |^2\leqslant ($sup$_{i\in I}|\lambda_i|^2)(\sum_{j\in J}|\langle e_i|x\rangle |^2$

$\leqslant ($sup$_{i\in I}|\lambda_i|)^2\|x\|^2$.

Do đó, họ $(\lambda_ip_i)$ là khả tổng trong $\mathscr{L}(E)$ được trang bị tôpô hội tụ đơn giản. Tổng của nó $u_{\lambda}$ thỏa mãn $u_{\lambda}(e_i) =\lambda_ie_i$; vì vậy nó là một tự đồng cấu chéo theo cơ sở B, với các giá trị riêng là $\lambda$. Khẳng định b) được suy ra.

Các khẳng định cuối cùng suy ra từ a), từ Ví dụ 3 của I, p. 17 và từ Ví dụ 4 của I, p. 111.

a) Các điều kiện sau là tương đương:

(i) Ta có $\lambda \in \mathscr{C}_0(I; K)$;

(ii) Tự đồng cấu $u$ là compact ;

(iii) Họ $(\lambda_ip_i)_{i\in I}$ là khả tổng trong không gian Banach

$\mathscr{L}(E)$. Khi đó tổng của nó bằng $u$.

b) Giả sử rằng $u$ là compact và ký hiệu bởi Λ tập hợp các giá trị của $\lambda$. Tập hợp các $i\in I$ sao cho $\lambda_i\not = 0$ là đếm được. Nếu E có chiều vô hạn, ta có Sp$_s(u) = \Lambda -\{0\}$ và Sp($u$) $= \Lambda \cup \{0\}$. Nếu E có số chiều hữu hạn, thì Sp$_s(u) =$ Sp($u$) $= \Lambda$.

Theo Bổ đề 1, ta có $\|\sum_{j\in J}\lambda_jp_j\|=$ sup$_{j\in J}|\lambda_j|$ với mọi tập con hữu hạn J của I. Từ đó suy ra, theo tiêu chuẩn Cauchy, rằng họ $(\lambda_ip_i)$ là khả tổng trong $\mathscr{L}(E)$ khi và chỉ khi họ $\lambda$ tiến tới 0 ở vô cực, điều này kéo theo rằng các điều kiện (i) và (iii) là tương đương.

Điều kiện (iii) kéo theo rằng $u$ là compact (hệ quả của Mệnh đề 2 của III, p. 4). Ngược lại, giả sử rằng tự đồng cấu $u$ là compact. Vì họ B bị chặn trong E, ảnh của nó bởi $u$ trong E là tương đối compact trong E (III, p. 2), và do đó tiền compact. Cho $\varepsilon >0$ và J là một tập con hữu hạn của I sao cho ảnh của B bởi $u$ được chứa trong hợp của các quả cầu bán kính $\varepsilon$ và tâm $u(e_j)$ với $j\in J$. Cho $i\in I$ - J. Tồn tại $j\in J$ sao cho $\|u(e_i)-u(e_j)\|\leqslant \varepsilon$, do đó

Do đó, ta có $\lambda \in \mathscr{C}_0(I; K)$, nghĩa là, điều kiện (i).

Sau cùng, phổ của $u$ và phổ nhạy của nó được tính như những hàm của $\lambda$ bằng cách dùng mệnh đề 1, c) và Mệnh đề 5 của III, p. 90.

Tập hợp Sp$_s(u)$ là đếm được, và nó không chứa 0 nếu E có chiều vô hạn (III, p. 90, prop. 5, b)). Với mọi phần tử $\lambda \in$ Sp$_s(u)$, ký hiệu bởi $N_{\lambda}$ không gian-không của $u-\lambda 1_E$. Nó có số chiều hữu hạn (loc. cit.) và, vì $u$ là chuẩn tắc, nó trùng với không gian riêng của $u$ ứng với $\lambda$ (EVT, V, p. 43, hệ quả của mệnh đề 8). Các không gian $N_{\lambda}$ trực giao từng đôi một (I, p. 132, n$^o5$).

Cho F là không gian con của E là tổng Hilbert của các không gian $N_{\lambda}$ với $\lambda \in$ Sp$_s(u)-\{0\}$. Đó là một không gian kiểu đếm được, ổn định dưới $u$ vì mỗi không gian con $N_{\lambda}$ đều ổn định dưới $u$. Vì $N_{\lambda}$ cũng là không gian riêng của $u^*$ tương ứng với $\overline{\lambda}$ (EVT, V, loc. cit.), tự đồng cấu $u$ cảm sinh một tự đồng cấu $\widetilde{u}$ của $F^{\circ}$ bằng cách chuyển qua các không gian con. Tự đồng cấu $\widetilde{u}$ là compact (Mệnh đề 3 của III, p. 5) và chuẩn tắc (Bổ đề 4 của I, p. 135). Theo phép dựng, phổ điểm của $\widetilde{u}$ được chứa trong $\{0\}$ (thật vậy, mọi vectơ riêng của $\widetilde{u}$ cũng sẽ là vectơ riêng của $u$, do đó sẽ thuộc một trong các không gian $N_{\lambda}$ nếu trị riêng tương ứng khác không). Vì vậy bán kính phổ của $\widetilde{u}$ bằng không, do đó $\widetilde{u}= 0$ vì $\widetilde{u}$ là chuẩn tắc (Hệ quả 1 của I, p. 108). Suy ra $F^{\circ}\subset$ Ker($u$).

Với mọi $\lambda \in$ Sp$_s(u)$, gọi $B_{\lambda}$ là một cơ sở trực chuẩn của $N_{\lambda}$ và gọi $(e_j)_{j\in J}$ là họ hợp của các $B_{\lambda}$; đó là một cơ sở trực chuẩn của F. Gọi B là hợp của $(e_j)_{j\in J}$ với một cơ sở trực chuẩn của $F^{\circ}$. Đó là một cơ sở trực chuẩn của E và $u$ là đường chéo trong cơ sở B.

Nếu $K =\mathbf{C}$, điều này suy ra ngay từ định lý. Giả sử $K =\mathbf{R}$. Không gian E là một $\mathbf{R}$-cấu trúc trên $E_{(\mathbf{C})}($x. A, II, p. 119). Tự đồng cấu $u_{(\mathbf{C})}$ của $E_{(\mathbf{C})}$ là compact (Nhận xét 4 của III, p. 2) và Hermit. Gọi $B = (e_j)_{j\in J}$ là một cơ sở trực chuẩn của $E_{(\mathbf{C})}$ sao cho $u_{(\mathbf{C})}\in \mathscr{D}_B(E_{(\mathbf{C})})$ và $\lambda$ là họ các trị riêng của $u_{(\mathbf{C})}$ (Định lý 1). Ta có $\lambda \in \mathbf{R}^J($I, p. 106, Mệnh đề 4) ; vì ánh xạ tuyến tính $u_{(\mathbf{C})}$ là $\mathbf{R}$-hữu tỉ, không gian riêng của $u_{(\mathbf{C})}$ tương ứng với $\lambda_j$ là $\mathbf{R}$-hữu tỉ với mọi $j\in J ($x. A, V, p. 60, Mệnh đề 6). Do đó tồn tại một cơ sở của nó thuộc E, và a fortiori, tồn tại một cơ sở trực chuẩn của nó trong E. Hợp của các cơ sở này là một cơ sở trực chuẩn $B_{\mathbf{R}}$ của E sao cho $u\in \mathscr{D}_{B_{\mathbf{R}}}(E)$.

Đặt $v=u^*\circ u$. Đó là một tự đồng cấu compact (III, p. 5, Prop. 3) và dương, do đó Hermit, của E. Theo Hệ quả 1, tồn tại một cơ sở trực chuẩn $(e_j)_{j\in J}$ của E sao cho $v$ là chéo trong cơ sở này. Họ $(\lambda_j)_{j\in J}$ các trị riêng của nó được chứa trong $\mathbf{R}_+^J$. Đặt $\alpha_j=\surd\overline{\lambda_j}$ với mọi $j\in J$. Gọi I là tập các $j\in J$ sao cho $\alpha_j\not = 0$. Đó là một tập đếm được vì $v$ là compact. Họ $(e_i)_{i\in I}$ là một cơ sở trực chuẩn của không gian ban đầu của $v$, tức là không gian ban đầu Ker($u$)$^{\circ}$ của $u$ (EVT, V, p. 43, Prop. 8). Đặt $f_i=\frac{1}{\alpha_i}u(e_i)$ với $i\in I$. Với mọi $i$ và $j$ thuộc I, ta có

do đó suy ra rằng họ $(f_i)_{i\in I}$ là trực chuẩn trong F. Hệ quả được suy ra, vì $u(e_i) =\alpha_if_i$ với mọi $i\in I$.

Cho $B = (f_j)_{j\in J}$ là một cơ sở trực chuẩn của E trong đó $u$ là đường chéo (hệ quả 1 của IV, p. 150) và $(\lambda_j)_{j\in J}$ là họ các trị riêng của $u$ trong cơ sở B. Cho $J'$ là tập hợp các $j\in J$ sao cho $\lambda_j$ thuộc phổ điểm của $u$.

Với mỗi $\lambda \in$ Sp$_s(u)$, tồn tại một song ánh giữa các số nguyên $n$ sao cho $0\leqslant n <M$ và $\lambda_n(u) =\lambda$ và các $j\in J'$ sao cho $\lambda_j=\lambda$, vì hai tập hợp này có lực lượng bằng bội số phổ của $\lambda$. Một lựa chọn các song ánh như vậy cho mỗi $\lambda$ xác định một song ánh $\iota$ từ tập hợp các số nguyên sao cho $0\leqslant n <M$ lên tập $J'$. Ta xác định dãy $(e_n)_{0\leqslant n<M}$ trong E bằng cách đặt $e_n=f_{\iota(n)}$ với $0\leqslant n <M$. Đó là một họ trực chuẩn trong E.

Trong trường hợp M $<$ Card(I) $= +\infty$, không gian F sinh bởi $\{e_0, . . . , e_{M-1}\}$ có số chiều hữu hạn và phần bù trực giao $F^{\circ}$ của nó có số chiều vô hạn; ta chọn cho $(e_n)_{n\geqslant M}$ một họ trực chuẩn trong $F^{\circ}$.

Với mọi $x\in E$, ta có

vì $u(f_j) = 0$ khi $j\in J$ - $J'$. Nếu $n\in I$ thỏa mãn $n\geqslant M$, ta có $\lambda_n(u) = 0$, và thu được công thức thứ nhất của mệnh đề. Công thức thứ hai suy ra từ đó.

Tự đồng cấu $f(u)$ là compắc và dương và, với mọi $n\in I_E$, ta có $\lambda_n(f(u)) =f(\lambda_n(u))$.

Tự đồng cấu $f(u)$ là compắc và dương theo mệnh đề 6, b) của III, p. 91 và mệnh đề 15, a) của I, p. 117. Phổ của $f(u)$ là ảnh qua $f$ của phổ của $u$ (hệ quả 2 của I, p. 111). Nếu $\lambda \in$ Sp$_s(f(u))$, bội số phổ của $\lambda$ là tổng các bội số phổ của những $\mu\in$ Sp($u$) sao cho $f(\mu) =\lambda$ (hệ quả 2 của III, p. 84). Vì $f$ tăng, dãy $(f(\lambda_n(u)))_{n\in I_E}$ là giảm. Mệnh đề khi đó suy ra từ định nghĩa của dãy $(\lambda_n(f(u)))_{n\in I_E}$.

a) Với mọi không gian con $F\in \mathscr{F}_{n+1}$ thích nghi với $u$, ta có $\lambda_n(u) =r_F(u)$;

b) Với mọi không gian con $F\in \mathscr{F}_n$ thích nghi với $u$, ta có $\lambda_n(u) = R_F(u)$.

Cho $F\in \mathscr{F}_{n+1}$ là một không gian con thích nghi với $u$, và $(f_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ là một cơ sở trực chuẩn của F sao cho $u(f_i) =\lambda_i(u)f_i$ với mọi $i$. Với mọi $x$ trong F, ta có

với đẳng thức xảy ra nếu $x=f_n$. Điều này suy ra $r_F(u) =\lambda_n(u)$, do đó mệnh đề a).

Cho $F\in \mathscr{F}_n$ là một không gian con thích nghi với $u$. Không gian con đóng $F^{\circ}$ là khác không (vì $n=$ dim(F) $<$ dim(E)) và ổn định dưới $u$; tự đồng cấu $\widetilde{u}$ của $F^{\circ}$ suy ra từ $u$ bằng cách chuyển qua các không gian con là compact và dương.

Ta có Sp($\widetilde{u}$)$\subset$ Sp($u$). Hơn nữa, ta có Sp($\widetilde{u}$)$\subset [0, \lambda_n(u)]$. Thật vậy, chỉ cần kiểm tra rằng $\lambda \leqslant \lambda_n(u)$ với mọi $\lambda \in$ Sp$_s(\widetilde{u})$. Khi đó số $\lambda$ là một trị riêng của $u$, nên tồn tại $j\in I$ sao cho $\lambda =\lambda_j(u)$. Do đó không gian riêng của $u$ ứng với $\lambda_j(u)$ không được chứa trong F, điều này suy ra $\lambda_j(u)\leqslant \lambda_n(u)$.

Giả sử $\lambda_n(u)>0$. Khi đó không gian riêng của $u$ ứng với $\lambda_n(u)$ không được chứa trong F, và do đó $\lambda_n(u)$ thuộc phổ điểm của $\widetilde{u}$. Suy ra sup(Sp($\widetilde{u}$)) $=\lambda_n(u)$. Nếu $\lambda_n(u) = 0$, ta cũng có cùng kết quả vì khi đó phổ của $\widetilde{u}$ thu về $\{0\}$.

Hơn nữa, theo định nghĩa ta có $R_F(u) = R_{\{0\}}(\widetilde{u})$, và cuối cùng $R_{\{0\}}(\widetilde{u}) =$ sup(Sp($\widetilde{u}$)) theo Mệnh đề 9 của I, p. 139, a). Mệnh đề b) được chứng minh.

$\lambda_n(u) =$ sup$_{F\in\mathscr{F}_{n+1}}r_F(u) =$ inf$_{F\in\mathscr{F}_n}R_F(u)$.

Cho $(e_n)_{n\in I}$ là một họ trực chuẩn có tính chất của Mệnh đề 3 của IV, p. 152. Với mọi số nguyên sao cho $1\leqslant n <M + 1$, gọi $F_n\in \mathscr{F}_n$ là không gian con chiều $n$ của E sinh bởi $(e_0, . . . , e_{n-1})$; theo phép dựng, không gian $F_n$ là thích nghi với $u$. Theo Mệnh đề 5, do đó ta có

Cho $n\in I$. Cho $F\in \mathscr{F}_{n+1}$. Hạn chế lên F của phép chiếu trực giao lên $F_n$ không đơn ánh, do đó tồn tại $x\not = 0$ trong F trực giao với $F_n$. Vì $x\in F^{\circ}_n$, khi đó ta có (Mệnh đề 3 của IV, p. 152)

$m\geqslant n$

Điều này chứng minh rằng $r_F(u)\leqslant \lambda_n(u)$, do đó đặc biệt có bất đẳng thức

(3) Fsup$_{\in\mathscr{F}_{n+1}}r_F(u)\leqslant \lambda_n(u)$.

Cho $F\in \mathscr{F}_n$. Hạn chế lên $F_{n+1}$ của phép chiếu trực giao lên F không đơn ánh, do đó tồn tại một vectơ $x\not = 0$ trong $F_{n+1}$ trực giao với F. Vì $x\in F_{n+1}$, ta có (loc. cit.)

và do đó $R_F(u)\geqslant \lambda_n(u)$. Đặc biệt, ta thu được

(4) Finf$_{\in\mathscr{F}_n}R_F(u)\geqslant \lambda_n(u)$.

Xét các công thức (2), (3) và (4), mệnh đề được chứng minh.

a) Ta có $|\lambda_n(u)-\lambda_n(v)|\leqslant \|u-v\|$ với mọi $n\in I$;

b) Nếu $u\leqslant v$, thì $\lambda_n(u)\leqslant \lambda_n(v)$ với mọi $n\in I$.

Cho $n\in I$ và cho F là một không gian con vectơ chiều $n$ của E. Với mọi $x\in F$, ta có

do đó có các bất đẳng thức

Mệnh đề a) suy ra từ đây bởi Mệnh đề 6 của IV, p. 154.

Nếu $u\leqslant v$, ta có $\langle x|u(x)\rangle \leqslant \langle x|v(x)\rangle$ với mọi $x\in E$. Với mọi $n\in I$ và mọi không gian con F chiều $n$, do đó ta có $R_F(u)\leqslant R_F(v)$, do đó $\lambda_n(u)\leqslant \lambda_n(v) ($loc. cit.).

a) Ta có $I_H\subset I_E$ và $\lambda_n(u_H)\leqslant \lambda_n(u)$ với mọi $n\in I_H$;

b) Nếu H có đối chiều hữu hạn $k\in \mathbf{N}$ trong E, thì ta có $I_H+k\subset I_E$ và $\lambda_{n+k}(u)\leqslant \lambda_n(u_H)$ với mọi $n\in I_H$.

Tự đồng cấu $u_H$ là compact (mệnh đề 3 của III, p. 5). Nó dương vì $\langle x|u_H(x)\rangle =\langle i_H(x)|u(i_H(x))\rangle \geqslant 0$ với mọi $x\in H$.

Lấy $n\in I_H\subset I_E$. Gọi F là một không gian con chiều $n+ 1$ của H thích nghi với $u_H$. Do đó $\lambda_n(u_H) =r_F(u_H)$ (mệnh đề 5 của IV, p. 153, a)), và hơn nữa vì $r_F(u_H) =r_F(u)\leqslant \lambda_n(u)$ (mệnh đề 6 của IV, p. 154), ta thu được mệnh đề a).

Giả sử rằng H có đối chiều $k\in \mathbf{N}$ trong E và rằng $n\in I_H$. Gọi F là một không gian con của H có chiều $n$ thích nghi với $u_H$. Trực giao bù của nó trong H bằng $H\cap F^{\circ}$, và đó là trực giao bù trong E của không gian con $F + H^{\circ}$ có chiều $n+k$. Do đó $n+k\in I_E$ và (mệnh đề 5 của IV, p. 153, b))

$\lambda_n(u_H) =$ sup $\frac{\langle x|u_H(x)\rangle}{2}= R_{F+H^{\circ}}(u)$

$x\not =0$

do đó $\lambda_n(u_H)\leqslant \lambda_{n+k}(u)$ (mệnh đề 6 của IV, p. 154).

a) Với $n\in I_E$, ta có

$\alpha_n(u) =$ sup$_{F\in\mathscr{F}_{n+1}}$ inf$_{x\in F-\{0\}}\frac{\|u(x)\|}{\|x\|}=$ inf$_{F\in\mathscr{F}_n}$ sup$_{x\in F^{\circ-}\{0\}}\frac{\|u(x)\|}{\|x\|}$.

b) Gọi J là tập hợp các $n\in I_E$ sao cho $\alpha_n(u)\not = 0$. Tồn tại các họ trực chuẩn $(e_n)_{n\in J}$ trong E và $(f_n)_{n\in J}$ trong F sao cho với mọi $x\in E$, ta có

Vì $\langle x|u^*u(x)\rangle =\|u(x)\|^2$ với mọi $x\in E$, các định nghĩa và mệnh đề 6 của IV, p. 154, a), suy ra đẳng thức của mệnh đề thứ nhất.

Gọi $(e_n)_{n\in I_E}$ là một họ trực chuẩn của E thỏa mãn các kết luận của mệnh đề 3 của IV, p. 152 áp dụng cho tự đồng cấu dương compact $u^*\circ u$ của E. Đặt $f_n=\alpha^{-1}_nu(e_n)$ với $n\in J$. Bằng lập luận như trong chứng minh của hệ quả 2 của IV, p. 150, ta thu được mệnh đề c).