Bài tập 6, § 2

Cho E là một không gian tiền Hilbert, cho F là một không gian Banach và cho $u: E\rightarrow F$ là một ánh xạ tuyến tính. a) Chứng minh rằng $u$ là một ánh xạ tuyến tính compact khi và chỉ khi $\|u(e_n)\| \rightarrow 0$ với mọi dãy trực chuẩn $(e_n)$ của E. (Để chứng minh rằng điều kiện này là đủ, sử dụng TG, IX, p. 20, Mệnh đề 14.)

b) Giả sử rằng E là một không gian Hilbert tách được và F = E. Để tồn tại một cơ sở trực chuẩn $(e_n)$ của E sao cho $\|u(e_n)\| \rightarrow 0$, điều kiện cần và đủ là $u$ không phải là một toán tử Fredholm.

c) Giả sử rằng E là một không gian Hilbert và ta có $\langle u(e_n), e_n\rangle \rightarrow 0$ với mọi dãy trực chuẩn $(e_n)$ của H. Chứng minh rằng $u$ là một ánh xạ tuyến tính compact.