Bài tập 17, § 4

a) Cho U là một tập mở liên thông của $\mathbf{C}$ và cho $V\subset U$ là một tập mở. Cho E là một không gian Banach phức. Cho $f: U\rightarrow E$ là một ánh xạ chỉnh hình, $z_0\in U$ và $M>0$ sao cho $\|f(z)\|\leqslant M$ với mọi $z\in V$ và sao cho $\|f(z_0)\|<M$. Khi đó $\|f(z)\|<M$ với mọi $z\in U$.

b) Cho E là một không gian Banach phức và cho $u\in \mathscr{L}(E)$. Cho $U\subset \mathbf{C}$ là một tập con mở của thành phần liên thông không bị chặn của $\mathbf{C}-$ Sp($u$). Nếu $M>0$ sao cho $\|R(u, \lambda )\|\leqslant M$ với mọi $\lambda \in U$, thì $\|R(u, \lambda )\|<M$ với mọi $\lambda \in U$. Đặc biệt, nếu $\mathbf{C}-$ Sp($u$) là liên thông, thì chuẩn của giải thức của $u$ không thể hằng trên một tập con mở khác rỗng của $\mathbf{C}-$ Sp($u$).