Exercice 17, § 4

a) Soit U un ouvert connexe de $\mathbf{C}$ et soit $V\subset U$ un ensemble ouvert. Soit E un espace de Banach complexe. Soient $f: U\rightarrow E$ une application holomorphe, $z_0\in U$ et $M>0$ tels que $\|f(z)\|\leqslant M$ pour tout $z\in V$ et tels que $\|f(z_0)\|<M$. On a alors $\|f(z)\|<M$ pour tout $z\in U$.

b) Soient E un espace de Banach complexe et $u\in \mathscr{L}(E)$. Soit $U\subset \mathbf{C}$ une partie ouverte de la composante connexe non bornée de $\mathbf{C}-$ Sp($u$). Si $M>0$ est tel que $\|R(u, \lambda )\|\leqslant M$ pour tout $\lambda \in U$, alors $\|R(u, \lambda )\|<M$ pour tout $\lambda \in U$. En particulier, si $\mathbf{C}-$ Sp($u$) est connexe, alors la norme de la résolvante de $u$ ne peut être constante sur un ouvert non vide de $\mathbf{C}-$ Sp($u$).