Bài tập 18, § 4

Cho E là không gian vectơ phức của các dãy bị chặn $(x_k)_{k\in\mathbf{Z}}$ các số phức. Với mọi $x= (x_k)$ trong E, ta viết

$\|x\|_E=|x_0|+$ sup$_{k\in\mathbf{Z}-\{0\}}|x_k|$.

a) Ánh xạ $x\mapsto \|x\|_E$ là một chuẩn trên E; không gian E được trang bị chuẩn này là một không gian Banach.

b) Cho $M>2$ là một số thực. Cho $\lambda = (\lambda_k)_{k\in\mathbf{Z}}$ là dãy được xác định bởi $\lambda_0= M^{-1}$ và $\lambda_k$ = 1 nếu $k\not = 0$. Ta ký hiệu bởi $u$ ánh xạ tuyến tính từ E vào E sao cho $u((x_k)_{k\in\mathbf{Z}}) = (\lambda_kx_{k+1})_{k\in\mathbf{Z}}$. Đó là một tự đồng cấu liên tục của E.

c) Đĩa mở tâm 0 bán kính $1/M$ được chứa trong tập chính quy của $u$.

d) Với mọi $\lambda \in \mathbf{C}$ sao cho $|\lambda |<$ inf(M$^{-1},\frac{1}{2}-M^{-1}$), ta có $\|R(u, \lambda )\|\leqslant M$. (Sử dụng công thức (6) của IV, p. 244).) e) Cho $e_0\in E$ là dãy $(x_k)_{k\in\mathbf{N}}$ được xác định bởi $x_0= 1$ và $x_k= 0$ nếu $k\not = 0$. Cho $\lambda \in \mathbf{C}$ sao cho $|\lambda |<$ inf(M$^{-1},\frac{1}{2}-M^{-1}$). Ta có $\|R(u, \lambda )e_0\|_E= M$, do đó $\|R(u, \lambda )\|= M$.

(Ví dụ này, cũng như ví dụ của bài tập sau, là của E. Shargorodsky, « On the level sets of the resolvent norm of a linear operator », Bull. London Math. Soc. 40 (2008), 493–504.)