Exercice 18, § 4

Soit E l’espace vectoriel complexe des suites bornées $(x_k)_{k\in\mathbf{Z}}$ de nombres complexes. Pour tout $x= (x_k)$ dans E, on note

$\|x\|_E=|x_0|+$ sup$_{k\in\mathbf{Z}-\{0\}}|x_k|$.

a) L’application $x\mapsto \|x\|_E$ est une norme sur E ; l’espace E muni de cette norme est un espace de Banach.

b) Soit $M>2$ un nombre réel. Soit $\lambda = (\lambda_k)_{k\in\mathbf{Z}}$ la suite définie par $\lambda_0= M^{-1}$ et $\lambda_k$ = 1 si $k\not = 0$. On note $u$ l’application linéaire de E dans E telle que $u((x_k)_{k\in\mathbf{Z}}) = (\lambda_kx_{k+1})_{k\in\mathbf{Z}}$. C’est un endomorphisme continu de E.

c) Le disque ouvert de centre 0 et de rayon $1/M$ est contenu dans l’ensemble résolvant de $u$.

d) Pour tout $\lambda \in \mathbf{C}$ tel que $|\lambda |<$ inf(M$^{-1},\frac{1}{2}-M^{-1}$), on a $\|R(u, \lambda )\|\leqslant M$. (Utiliser la formule (6) de IV, p. 244).) e) Soit $e_0\in E$ la suite $(x_k)_{k\in\mathbf{N}}$ définie par $x_0= 1$ et $x_k= 0$ si $k\not = 0$. Soit $\lambda \in \mathbf{C}$ tel que $|\lambda |<$ inf(M$^{-1},\frac{1}{2}-M^{-1}$). On a $\|R(u, \lambda )e_0\|_E= M$, donc $\|R(u, \lambda )\|= M$.

(Cet exemple, comme celui de l’exercice qui suit, est dû à E. Shargorodsky, « On the level sets of the resolvent norm of a linear operator », Bull. London Math. Soc. 40 (2008), 493–504.)