Bài tập 19, § 4

Cho E là không gian Hilbert $\ell_2(\mathbf{N}^*)$. Cho $(\alpha_n)_{n\in\mathbf{N}^*}$ là một dãy các số thực $\geqslant 2$ sao cho $\alpha_n$ tiến tới $+\infty$ khi $n\rightarrow +\infty$. Đặt $\beta_n= 1 +\alpha^{-1}_n$ với mọi $n\in \mathbf{N}^*$.

a) Cho $F\subset E$ là không gian các dãy $(x_k)_{k\in\mathbf{N}^*}\in E$ sao cho chuỗi

hội tụ. Đây là một không gian con trù mật của E.

b) Tồn tại một toán tử bộ phận đóng $u$ trên E với miền xác định F sao cho với mọi $x= (x_k)_{k\in\mathbf{N}^*}$ thuộc F, ta có $u(x) = (y_k)$ trong đó

=

$y_{2k}\beta_k$ 0 $x_{2k}$

với mọi $k\in \mathbf{N}^*$.

c) Cho $u_n$ là tự đồng cấu

$\beta_n$ 0

của không gian Hilbert $\mathbf{C}^2$ được trang bị tích vô hướng chính tắc. Với mọi $\lambda \in \mathbf{C}$ sao cho $|\lambda |<1$, giải thức của $u_n$ tại $\lambda$ được xác định và ta có

lim$_{n\rightarrow+\infty}\|R(u_n, \lambda )\|= 1$.

d) Với mọi $n\in \mathbf{N}^*$ và mọi $\lambda \in \mathbf{C}$ sao cho $|\lambda |<\frac{1}{2}$, ta có $\|R(u_n, \lambda )\|<1$.

e) Đĩa mở tâm 0 bán kính $\frac{1}{2}$ được chứa trong tập giải thức của $u$, và ta có $\|R(u, \lambda )\|= 1$ với mọi $\lambda \in \mathbf{C}$ sao cho $|\lambda |<\frac{1}{2}$.