Exercice 19, § 4

Soit E l’espace hilbertien $\ell_2(\mathbf{N}^*)$. Soit $(\alpha_n)_{n\in\mathbf{N}^*}$ une suite de nombres réels $\geqslant 2$ tels que $\alpha_n$ tend vers $+\infty$ quand $n\rightarrow +\infty$. Posons $\beta_n= 1 +\alpha^{-1}_n$ pour tout $n\in \mathbf{N}^*$.

a) Soit $F\subset E$ l’espace des suites $(x_k)_{k\in\mathbf{N}^*}\in E$ telles que la série

converge. C’est un sous-espace dense de E.

b) Il existe un opérateur partiel fermé $u$ sur E de domaine F tel que pour tout $x= (x_k)_{k\in\mathbf{N}^*}$ dans F, on a $u(x) = (y_k)$ où

=

$y_{2k}\beta_k$ 0 $x_{2k}$

pour tout $k\in \mathbf{N}^*$.

c) Soit $u_n$ l’endomorphisme

$\beta_n$ 0

de l’espace hilbertien $\mathbf{C}^2$ muni du produit scalaire canonique. Pour tout $\lambda \in \mathbf{C}$ tel que $|\lambda |<1$, la résolvante de $u_n$ en $\lambda$ est définie et on a

lim$_{n\rightarrow+\infty}\|R(u_n, \lambda )\|= 1$.

d) Pour tout $n\in \mathbf{N}^*$ et tout $\lambda \in \mathbf{C}$ tel que $|\lambda |<\frac{1}{2}$, on a $\|R(u_n, \lambda )\|<1$. e) Le disque ouvert de centre 0 et de rayon $\frac{1}{2}$ est contenu dans l’ensemble résolvant de $u$, et on a $\|R(u, \lambda )\|= 1$ pour tout $\lambda \in \mathbf{C}$ tel que $|\lambda |<\frac{1}{2}$.