Bài tập 20, § 4

Nếu $a$ và $b$ là các số thực với $a < b$, ta ký hiệu bởi $\mathscr{C}^2([a, b])$ không gian vectơ của các hàm liên tục trên $[a, b]$ mà hạn chế của chúng trên$]a, b[$ là thuộc lớp $C^2$. Ta ký hiệu bởi $\mu$ độ đo Lebesgue.

a) Cho $q_1$ và $q_2$ là các hàm giá trị thực trong $\mathscr{C}^2([a, b])$ sao cho $q_1\geqslant q_2$. Với $i\in \{1,2\}$, cho $f_i\in \mathscr{C}^2([a, b])$ là một nghiệm của phương trình

Giả sử rằng $f_2(a) =f_2(b) = 0$ và $f_2\not = 0$. Nếu hàm $f_1$ không triệt tiêu trong$]a, b[$, thì $q_1=q_2$ và tồn tại $c\in \mathbf{C}$ sao cho $f_1=cf_2$. (Rút gọn về trường hợp $f_1$ và $f_2$ dương ngặt trên$]a, b[$; xét wronskien $w=f_1f'_2-f'_1f_2$ và chứng minh rằng $w(a) =w(b)$, sau đó chứng minh rằng $w= 0.$)

b) Cho $q\in \mathscr{C}^2([0,1])$ thỏa mãn $q\geqslant 0$. Ta ký hiệu bởi $\widetilde{S}L_q$ toán tử vi phân riêng phần trên $L^2([0,1], \mu)$ có miền xác định

sao cho

(“toán tử Sturm–Liouville”). Toán tử $\widetilde{S}L_q$ là đối xứng và tự liên hợp thiết yếu. Ta ký hiệu bởi SL$_q$ bao đóng của $\widetilde{S}L_q$.

c) Cho $\lambda \in$ Sp(SL$_q$) là một trị riêng của SL$_q$. Không gian con thực sự liên kết với $\lambda$ có chiều 1 và được sinh bởi một hàm giá trị thực thuộc D.

d) Mọi trị riêng $\lambda$ của SL$_q$ đều thỏa mãn $\lambda \geqslant \pi^2$. (Trước hết chứng minh rằng $\lambda$ là dương bằng cách sử dụng câu hỏi a) với $q_1=q$ và $q_2= 0.)$

e) Với $s >0$, tồn tại duy nhất một hàm $f_s\in \mathscr{C}^2([0,1])$ là nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính

và thỏa mãn $f_s(0) = 0$ và $f'_s(0) =s$. Đặt $f(x, s) =f_s(x)$; ánh xạ $f$ là một hàm thuộc lớp $C^2$ trên$]0,1[\times \mathbf{R}^*_+$. Các trị riêng của SL$_q$ có dạng $\lambda =s^2$ trong đó $s$ thỏa mãn $f(1, s) = 0$.

f) Với $t\in [0,1]$ và $s >0$, gọi $N(t, s)\in \overline{\mathbf{N}}$ là số các $x\in [0, t]$ sao cho $f(x, s) = 0$. Ta có $N(t, s)\in \mathbf{N}$ và hàm $s\mapsto N(t, s)$ là tăng với mọi $t$ cố định. (Sử dụng câu hỏi a).)

g) Cho $t\in [0,1]$ và $s_0>0$. Đặt $m= N(t, s_0)\in \mathbf{N}$. Gọi

là các nghiệm không của $f_{s_0}$ trong $[0, t]$. Với $s\geqslant 0$, gọi

là $m$ nghiệm không đầu tiên của $f_s$ trong $[0, t]$. Các hàm $s\mapsto x_j(s)$ thuộc lớp $C^1$ và ta có

h) Tập hợp các giá trị riêng của SL$_q$ là tập hợp các giá trị của một dãy tăng các số thực dương ngặt

tiến tới $+\infty$. Hơn nữa, không gian riêng tương ứng với $\lambda_n$ có chiều 1; nếu $\varphi_n$ là một cơ sở của nó, ta có $\varphi_n\in \mathscr{C}^2([0,1])$ và hàm $\varphi_n$ triệt tiêu tại đúng $n$ điểm phân biệt của $[0,1]$. (Để chứng minh rằng tồn tại vô hạn giá trị riêng của SL$_q$, sử dụng câu hỏi a) với $q_1= M-s^2$, trong đó $M\in \mathbf{R}$ được chọn thích hợp, để kiểm tra rằng $N(1, s)$ tiến tới $+\infty$ khi $s\rightarrow +\infty .)$