Exercice 20, § 4

Si $a$ et $b$ sont des réels avec $a < b$, on note $\mathscr{C}^2([a, b])$ l’espace vectoriel des fonctions continues sur $[a, b]$ dont la restriction à$]a, b[$ est de classe $C^2$. On note $\mu$ la mesure de Lebesgue.

a) Soient $q_1$ et $q_2$ des fonctions à valeurs réelles dans $\mathscr{C}^2([a, b])$ telles que $q_1\geqslant q_2$. Pour $i\in \{1,2\}$, soit $f_i\in \mathscr{C}^2([a, b])$ une solution de l’équation

On suppose que $f_2(a) =f_2(b) = 0$ et que $f_2\not = 0$. Si la fonction $f_1$ ne s’annule pas dans$]a, b[$, alors $q_1=q_2$ et il existe $c\in \mathbf{C}$ tel que $f_1=cf_2$. (Se ramener au cas où $f_1$ et $f_2$ sont strictement positives sur$]a, b[$; considérer le wronskien $w=f_1f'_2-f'_1f_2$ et démontrer que $w(a) =w(b)$, puis que $w= 0.$)

b) Soit $q\in \mathscr{C}^2([0,1])$ vérifiant $q\geqslant 0$. On note $\widetilde{S}L_q$ l’opérateur partiel différentiel sur $L^2([0,1], \mu)$ de domaine

tel que

(« opérateur de Sturm–Liouville »). L’opérateur $\widetilde{S}L_q$ est symétrique et essentiellement auto-adjoint. On note SL$_q$ la fermeture de $\widetilde{S}L_q$.

c) Soit $\lambda \in$ Sp(SL$_q$) une valeur propre de SL$_q$. Le sous-espace propre associé à $\lambda$ est de dimension 1 et engendré par une fonction à valeurs réelle appartenant à D.

d) Toute valeur propre $\lambda$ de SL$_q$ vérifie $\lambda \geqslant \pi^2$. (Démontrer d’abord que $\lambda$ est positif en utilisant la question a) avec $q_1=q$ et $q_2= 0.)$

e) Pour $s >0$, il existe une unique fonction $f_s\in \mathscr{C}^2([0,1])$ qui est solution de l’équation différentielle linéaire

et vérifie $f_s(0) = 0$ et $f'_s(0) =s$. Posons $f(x, s) =f_s(x)$; l’application $f$ est une fonction de classe $C^2$ sur$]0,1[\times \mathbf{R}^*_+$. Les valeurs propres de SL$_q$ sont de la forme $\lambda =s^2$ où $s$ vérifie $f(1, s) = 0$.

f) Pour $t\in [0,1]$ et $s >0$, soit $N(t, s)\in \overline{\mathbf{N}}$ le nombre de $x\in [0, t]$ tels que $f(x, s) = 0$. On a $N(t, s)\in \mathbf{N}$ et la fonction $s\mapsto N(t, s)$ est croissante pour tout $t$ fixé. (Utiliser la question a).)

g) Soit $t\in [0,1]$ et $s_0>0$. Soit $m= N(t, s_0)\in \mathbf{N}$. Notons

les zéros de $f_{s_0}$ dans $[0, t]$. Pour $s\geqslant 0$, soient

les $m$ premiers zéros de $f_s$ dans $[0, t]$. Les fonctions $s\mapsto x_j(s)$ sont de classe $C^1$ et on a

h) L’ensemble des valeurs propres de SL$_q$ est l’ensemble des valeurs d’une suite croissante de nombres réels strictement positifs

tendant vers $+\infty$. De plus, l’espace propre correspondant à $\lambda_n$ est de dimension 1 ; si $\varphi_n$ en est une base, on a $\varphi_n\in \mathscr{C}^2([0,1])$ et la fonction $\varphi_n$ s’annule en exactement $n$ points distincts de $[0,1]$. (Pour démontrer qu’il existe une infinité de valeurs propres de SL$_q$, utiliser la question a) avec $q_1= M-s^2$, où $M\in \mathbf{R}$ est bien choisi, pour vérifier que $N(1, s)$ tend vers $+\infty$ quand $s\rightarrow +\infty .)$