Bài tập 21, § 4

Ta giữ lại ký hiệu của bài tập trước. Ta ký hiệu bởi $\varphi_n$ hàm riêng duy nhất của SL$_q$ tương ứng với trị riêng $\lambda_n$ sao cho $\varphi '_n(0) =\lambda_n$.

a) Đặt M = sup$\{q(x)\}$. Với mọi $n\in \mathbf{N}$, ta có

và hơn nữa

khi $n\rightarrow +\infty$.

b) Cho $s >0$. Cho $f\in \mathscr{C}^2([0,1])$ sao cho

Khi đó ta có $(1-s^{-1}u_s)f=g_s$, trong đó $g_s(x) =$ sin($sx$) và $u_s$ là toán tử tích phân trên $\mathscr{C}([0,1])$ được cho bởi

$u_s(f)(x) =\int_0^x$ sin($s(x-y)$)$q(y)f(y)d\mu(y)$.

c) Với $s$ đủ lớn, ta có $s \notin$ Sp($u_s$).

d) Với mọi $x$ cố định, ta có

$\varphi_n(x) =$ sin(($n+ 1$)$x$) $+ O(n^{-1})$

khi $n\rightarrow +\infty$.