Exercice 21, § 4

On reprend les notations de l’exercice précédent. On note $\varphi_n$ l’unique fonction propre de SL$_q$ pour la valeur propre $\lambda_n$ telle que $\varphi '_n(0) =\lambda_n$.

a) Soit M = sup$\{q(x)\}$. Pour tout $n\in \mathbf{N}$, on a

et de plus

quand $n\rightarrow +\infty$.

b) Soit $s >0$. Soit $f\in \mathscr{C}^2([0,1])$ tel que

On a alors $(1-s^{-1}u_s)f=g_s$, où $g_s(x) =$ sin($sx$) et $u_s$ est l’opérateur intégral sur $\mathscr{C}([0,1])$ donné par

$u_s(f)(x) =\int_0^x$ sin($s(x-y)$)$q(y)f(y)d\mu(y)$.

c) Pour $s$ suffisamment grand, on a $s \notin$ Sp($u_s$).

d) Pour tout $x$ fixé, on a

$\varphi_n(x) =$ sin(($n+ 1$)$x$) $+ O(n^{-1})$

quand $n\rightarrow +\infty$.