Bài tập 24, § 4

Cho E là một không gian Hilbert phức và $u$ là một toán tử riêng phần đối xứng trên E. Cho $F = E\oplus E$ và cho $v$ là toán tử riêng phần trên F có miền xác định dom($u^*$)$\oplus$ dom($\overline{u}$) sao cho $v(x, y) = (\overline{u}(y), u^*(x))$.

a) Toán tử riêng phần $v$ là tự liên hợp.

b) Cho $\widetilde{E}$ là ảnh của ánh xạ tuyến tính $\delta :x\mapsto (x, x)$. Sự thu hẹp của $v$ vào $\widetilde{E}$ là toán tử riêng phần có miền xác định $\delta$(dom($u$)) sao cho $(x, x)\mapsto (u(x), u(x))$.