Exercice 24, § 4

Soient E un espace hilbertien complexe et $u$ un opérateur partiel symétrique sur E. Soit $F = E\oplus E$ et soit $v$ l’opérateur partiel sur F de domaine dom($u^*$)$\oplus$ dom($\overline{u}$) tel que $v(x, y) = (\overline{u}(y), u^*(x))$.

a) L’opérateur partiel $v$ est auto-adjoint.

b) Soit $\widetilde{E}$ l’image de l’application linéaire $\delta :x\mapsto (x, x)$. La réduction de $v$ à $\widetilde{E}$ est l’opérateur partiel de domaine $\delta$(dom($u$)) tel que $(x, x)\mapsto (u(x), u(x))$.