Bài tập 3, § 4

Cho $K =\mathbf{R}$ hoặc $\mathbf{C}$. Cho E, F là các không gian vectơ tôpô trên K và cho $u$ là một toán tử có miền xác định trù mật từ E vào F. Cho $D'$ là tập hợp các dạng tuyến tính liên tục $\lambda \in F'$ sao cho tồn tại một dạng tuyến tính liên tục $\mu\in E'$ trùng với $\lambda \circ u$ trên miền xác định của $u$.

a) Tập hợp $D'$ là một không gian con vectơ của $F'$, dạng tuyến tính $\mu$ được xác định duy nhất bởi $\lambda$, và ánh xạ $\lambda \mapsto \mu$ từ $D'$ vào $E'$ là tuyến tính.

Toán tử bộ phận từ $F'$ vào $E'$ có miền xác định là $D'$ và được cho bởi $\lambda \mapsto \mu$ với $\lambda \in D'$ được gọi là chuyển vị của $u$, và được ký hiệu bởi $^tu$.

b) Giả sử rằng E và F là lồi địa phương. Toán tử $u$ đóng được khi và chỉ khi đối ngẫu $F\times$ miền xác định($^tu$)$\rightarrow K$ là tách.

c) Giả sử rằng E và F là lồi địa phương và F là nửa phản xạ. Toán tử $u$ đóng được khi và chỉ khi $^tu$ có miền xác định trù mật.