Exercice 3, § 4

Soit $K =\mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$. Soient E, F des espaces vectoriels topologiques sur K et $u$ un opérateur à domaine dense de E dans F. Soit $D'$ l’ensemble des formes linéaires continues $\lambda \in F'$ telles qu’il existe une forme linéaire continue $\mu\in E'$ coïncidant avec $\lambda \circ u$ sur le domaine de $u$.

a) L’ensemble $D'$ est un sous-espace vectoriel de $F'$, la forme linéaire $\mu$ est déterminée de manière unique par $\lambda$, et l’application $\lambda \mapsto \mu$ de $D'$ dans $E'$ est linéaire.

On appelle transposé de $u$, et on note $^tu$, l’opérateur partiel de $F'$ dans $E'$ dont le domaine est $D'$ et qui est donné par $\lambda \mapsto \mu$ pour $\lambda \in D'$.

b) Supposons que E et F sont localement convexes. L’opérateur $u$ est fermable si et seulement si la dualité $F\times$ dom($^tu$)$\rightarrow K$ est séparante.

c) Supposons que E et F sont localement convexes et que F est semi-réflexif. L’opérateur $u$ est fermable si et seulement si $^tu$ est à domaine dense.