Bài tập 5, § 4

Cho E là một không gian Banach phức. Một nửa nhóm liên tục trên E là một ánh xạ $s:\mathbf{R}_+\rightarrow \mathscr{L}(E)$ sao cho

(i) $s(0) = 1_E$;

(ii) Ánh xạ của $\mathbf{R}_+\times E\rightarrow E$ được xác định bởi $(t, x)\mapsto s(t)x$ là liên tục;

(iii) Với mọi $t_1$ và $t_2$ trong $\mathbf{R}_+$, ta có $s(t_1+t_2) =s(t_1)s(t_2)$.

Ta xét một nửa nhóm liên tục $s$ trên E.

a) Tồn tại các số thực $C\geqslant 0$ và $M\geqslant 0$ sao cho

với mọi $t\in \mathbf{R}_+$. (Cho $a >0$; bây giờ chứng minh rằng $\|s(t)\|$ bị chặn với $t\in [0, a].$) Các số như thế được cố định trong phần còn lại của bài tập.

b) Gọi D là tập hợp các $x\in E$ sao cho ánh xạ $\psi_x$ của $\mathbf{R}_+$ vào E được xác định bởi $t\mapsto s(t)x$ khả vi tại 0. Không gian D là trù mật trong E; ánh xạ $u$ của D vào E được xác định bởi $u(x) =-\psi '_x(0)$ là một toán tử bộ phận đóng trên E, được gọi là phần tử sinh vô cùng bé của nửa nhóm $s$. c) Cho $\lambda$ là một số phức sao cho $\mathscr{R}(\lambda )<-M$. Công thức

xác định một tự đồng cấu của E.

d) Ảnh của $v_{\lambda}$ được chứa trong dom($u$) và ta có $u\circ v_{\lambda}=-1_E-\lambda v_{\lambda}$. e) Ta có $u\circ v_{\lambda}=v_{\lambda}\circ u$.

f) Số phức $\lambda$ thuộc tập chính quy của $u$ và ta có $v_{\lambda}=-R(u, \lambda )$.

g) Ta có

với mọi $n\in \mathbf{N}$.