Exercice 5, § 4

Soit E un espace de Banach complexe. On appelle semi-groupe continu sur E une application $s:\mathbf{R}_+\rightarrow \mathscr{L}(E)$ telle que

(i) $s(0) = 1_E$;

(ii) L’application de $\mathbf{R}_+\times E\rightarrow E$ définie par $(t, x)\mapsto s(t)x$ est continue ;

(iii) Pour tous $t_1$ et $t_2$ dans $\mathbf{R}_+$, on a $s(t_1+t_2) =s(t_1)s(t_2)$.

On considère un semi-groupe continu $s$ sur E.

a) Il existe des nombres réels $C\geqslant 0$ et $M\geqslant 0$ tels que

pour tout $t\in \mathbf{R}_+$. (Soit $a >0$; montrer que $\|s(t)\|$ est bornée pour $t\in [0, a].$) On fixe de tels nombres dans la suite de l’exercice.

b) Soit D l’ensemble des $x\in E$ tels que l’application $\psi_x$ de $\mathbf{R}_+$ dans E définie par $t\mapsto s(t)x$ est dérivable en 0. L’espace D est dense dans E ; l’application $u$ de D dans E définie par $u(x) =-\psi '_x(0)$ est un opérateur partiel fermé sur E, qui est appelé le générateur infinitésimal du semi-groupe $s$. c) Soit $\lambda$ un nombre complexe tel que $\mathscr{R}(\lambda )<-M$. La formule

définit un endomorphisme de E.

d) L’image de $v_{\lambda}$ est contenue dans dom($u$) et on a $u\circ v_{\lambda}=-1_E-\lambda v_{\lambda}$. e) On a $u\circ v_{\lambda}=v_{\lambda}\circ u$.

f) Le nombre complexe $\lambda$ appartient à l’ensemble résolvant de $u$ et on a $v_{\lambda}=-R(u, \lambda )$.

g) On a

pour tout $n\in \mathbf{N}$.