Bài tập 6, § 4

Cho E là một không gian Banach phức và $u$ là một toán tử bộ phận đóng với miền xác định trù mật trên E. Giả sử tồn tại các số thực $C\geqslant 0$ và $M\geqslant 0$ sao cho

(i) Tập hợp $]-\infty ,-M[$ được chứa trong tập giải thức của $u$;

(ii) Với mọi số nguyên $n\in \mathbf{N}$ và mọi số thực $\lambda <-M$, ta có

a) Với mọi số thực $y <-M$, đặt

Các tự đồng cấu $u_y$ giao hoán từng đôi một; với mọi $x\in$ dom($u$), ta có $u_y(x)\rightarrow u(x)$ khi $y\rightarrow -\infty$.

b) Ánh xạ từ $\mathbf{R}_+$ vào $\mathscr{L}(E)$ được xác định bởi $s_y(t) =e^{-tu_y}$ là một nửa nhóm liên tục trên E sao cho $\|s_y(t)\|\leqslant Ce^{Mt}$ với mọi $t\in \mathbf{R}_+$.

c) Với mọi $y_1,y_2$ và $t$ trong $\mathbf{R}^*_+$, và mọi $x$ trong dom($u$), ta có

d) Cho $t\in \mathbf{R}_+$. Với mọi $x$ trong E, hàm được xác định trên $\mathbf{R}^*_+$ bởi $y\mapsto s_y(t)x$ hội tụ khi $y\rightarrow -\infty$ tới một phần tử $s(t)x$ của E. Ánh xạ $s(t)$ là tuyến tính và liên tục với chuẩn $\leqslant Ce^{Mt}$.

e) Ánh xạ $t\mapsto s(t)$ là một nửa nhóm liên tục trên E.

f) Toán tử bộ phận $u$ là sinh vô cùng bé của nửa nhóm liên tục $s$ ("định lý Hille–Yosida"). (Trước hết kiểm tra rằng sinh vô cùng bé của $s$ là một mở rộng của $u$.)

g) Cho $\widetilde{s}$ là một nửa nhóm liên tục mà $u$ là sinh vô cùng bé của nó. Ta có $\widetilde{s}=s$.