Exercice 6, § 4

Soient E un espace de Banach complexe et $u$ un opérateur partiel fermé à domaine dense sur E. On suppose qu’il existe des nombres réels $C\geqslant 0$ et $M\geqslant 0$ tels que

(i) L’ensemble$]-\infty ,-M[$ est contenu dans l’ensemble résolvant de $u$;

(ii) Pour tout entier $n\in \mathbf{N}$ et tout nombre réel $\lambda <-M$, on a

a) Pour tout nombre réel $y <-M$, on note

Les endomorphismes $u_y$ commutent deux à deux ; pour tout $x\in$ dom($u$), on a $u_y(x)\rightarrow u(x)$ quand $y\rightarrow -\infty$.

b) L’application de $\mathbf{R}_+$ dans $\mathscr{L}(E)$ définie par $s_y(t) =e^{-tu_y}$ est un semi-groupe continu sur E tel que $\|s_y(t)\|\leqslant Ce^{Mt}$ pour tout $t\in \mathbf{R}_+$.

c) Pour tous $y_1,y_2$ et $t$ dans $\mathbf{R}^*_+$, et tout $x$ dans dom($u$), on a

d) Soit $t\in \mathbf{R}_+$. Pour tout $x$ dans E, la fonction définie sur $\mathbf{R}^*_+$ par $y\mapsto s_y(t)x$ converge quand $y\rightarrow -\infty$ vers un élément $s(t)x$ de E. L’application $s(t)$ est linéaire et continue de norme $\leqslant Ce^{Mt}$.

e) L’application $t\mapsto s(t)$ est un semi-groupe continu sur E.

f) L’opérateur partiel $u$ est le générateur infinitésimal du semi-groupe continu $s$ (« théorème de Hille–Yosida »). (Vérifier d’abord que le générateur infinitésimal de $s$ est une extension de $u.$)

g) Soit $\widetilde{s}$ un semi-groupe continu dont $u$ est le générateur infinitésimal. On a $\widetilde{s}=s$.