Bài tập 7, § 4

Cho E là một không gian Banach phức và $u$ là một toán tử bộ phận trên E. Ta nói rằng $u$ là accretive nếu, với mọi $x\in$ dom($u$), tồn tại một dạng tuyến tính liên tục $\ell \in E'$ sao cho

(i) $\mathscr{R}(\ell (u(x)))\geqslant 0$;

(ii) ta có $\|\ell \|=\|x\|$ và $\ell (x) =\|x\|^2$.

Ta nói rằng một nửa nhóm liên tục $s$ trên E là co nếu $\|s(t)\|\leqslant 1$ với mọi $t\in \mathbf{R}_+$.

a) Toán tử bộ phận $u$ là toán tử sinh vô cùng bé của một nửa nhóm liên tục co trên E khi và chỉ khi $u$ là accretive và tồn tại $\lambda >0$ sao cho toán tử bộ phận $\lambda 1_E+u$ là toàn ánh. (Để chứng minh rằng điều kiện là cần thiết, giả sử $s$ là nửa nhóm co có toán tử sinh vô cùng bé là $u$; với $x\in$ dom($u$), xét hàm được xác định bởi $t\mapsto \ell (s(t)x)$; nó khả vi tại 0, và đạo hàm của nó tại 0 là $-\mathscr{R}(\ell (u(x))).$)

b) Giả sử rằng $u$ là đóng và rằng $u$ và $^tu$ là accretive. Khi đó $u$ là toán tử sinh vô cùng bé của một nửa nhóm liên tục co trên E.