Exercice 7, § 4

Soient E un espace de Banach complexe et $u$ un opérateur partiel sur E. On dit que $u$ est accrétif si, pour tout $x\in$ dom($u$), il existe une forme linéaire continue $\ell \in E'$ telle que

(i) $\mathscr{R}(\ell (u(x)))\geqslant 0$;

(ii) On a $\|\ell \|=\|x\|$ et $\ell (x) =\|x\|^2$.

On dit qu’un semi-groupe continu $s$ sur E est contractant si $\|s(t)\|\leqslant 1$ pour tout $t\in \mathbf{R}_+$.

a) L’opérateur partiel $u$ est le générateur infinitésimal d’un semi-groupe continu contractant sur E si et seulement si $u$ est accrétif et s’il existe $\lambda >0$ tel que l’opérateur partiel $\lambda 1_E+u$ est surjectif. (Pour montrer que la condition est nécessaire, soit $s$ le semi-groupe contractant dont le générateur infinitésimal est $u$; pour $x\in$ dom($u$), considérer la fonction définie par $t\mapsto \ell (s(t)x)$; elle est dérivable en 0, et sa dérivée en 0 est $-\mathscr{R}(\ell (u(x))).$)

b) Supposons que $u$ est fermé et que $u$ et $^tu$ sont accrétifs. Alors $u$ est le générateur infinitésimal d’un semi-groupe continu contractant sur E.