Bài tập 3, § 1

Cho E là một không gian Hilbert. Ký hiệu $\mathbf{U}(E)$ là nhóm các tự đồng cấu unita của E và $\mathbf{G}\mathbf{L}(E)$ là nhóm các tự đồng cấu khả nghịch của E.

a) Nhóm $\mathbf{U}(E)$ được trang bị tôpô cảm sinh bởi tôpô hội tụ đơn trên $\mathscr{L}(E)$ là một nhóm tôpô, ký hiệu là $\mathbf{U}(E)_s$; nếu E là vô hạn chiều, nhóm $\mathbf{G}\mathbf{L}(E)$ không phải là một nhóm tôpô với tôpô cảm sinh bởi tôpô hội tụ đơn.

b) Tôpô của $\mathbf{U}(E)_s$ trùng với tôpô cảm sinh bởi tôpô hội tụ compăc.

c) Nếu E thuộc kiểu đếm được, nhóm $\mathbf{U}(E)_s$ là khả mêtric và đầy đủ. d) Cho L là không gian các $u\in \mathscr{L}(E)$ sao cho $u^*=-u$; đó là đại số Lie của nhóm Lie thực $G =\mathbf{U}(E)$ được trang bị tôpô cảm sinh bởi tôpô không gian Banach của $\mathscr{L}(E)$ (LIE, III, p. 146, cor. 2). Ánh xạ mũ từ L vào $\mathbf{U}(E)_s$ là liên tục.

e) Nếu E là vô hạn chiều, thì $\mathbf{U}(E)_s$ không phải là một nhóm Lie thực thuộc kiểu $\{L\}$. (Xét nhóm con K của $\mathbf{U}(E)_s$ gồm các tự đồng cấu unita đường chéo trong một cơ sở trực chuẩn cố định của E, và chú ý rằng K là compăc.)

f) Ánh xạ mũ không phải là một đồng phôi địa phương từ L vào $\mathbf{U}(E)_s$. (Xét hạn chế của nó lên các tự đồng cấu đường chéo trong một cơ sở trực chuẩn cố định.)