Exercice 3, § 1

Soit E un espace hilbertien. On note $\mathbf{U}(E)$ le groupe des endomorphismes unitaires de E et $\mathbf{G}\mathbf{L}(E)$ le groupe des endomorphismes inversibles de E.

a) Le groupe $\mathbf{U}(E)$ muni de la topologie induite par la topologie de la convergence simple sur $\mathscr{L}(E)$ est un groupe topologique, noté $\mathbf{U}(E)_s$; si E est de dimension infinie, le groupe $\mathbf{G}\mathbf{L}(E)$ n’est pas un groupe topologique avec la topologie induite par la topologie de la convergence simple.

b) La topologie de $\mathbf{U}(E)_s$ coïncide avec la topologie induite par la topologie de la convergence compacte.

c) Si E est de type dénombrable, le groupe $\mathbf{U}(E)_s$ est métrisable et complet. d) Soit L l’espace des $u\in \mathscr{L}(E)$ tels que $u^*=-u$; c’est l’algèbre de Lie du groupe de Lie réel $G =\mathbf{U}(E)$ muni de la topologie induite par la topologie d’espace de Banach de $\mathscr{L}(E)$ (LIE, III, p. 146, cor. 2). L’application exponentielle de L dans $\mathbf{U}(E)_s$ est continue.

e) Si E est de dimension infinie, alors $\mathbf{U}(E)_s$ n’est pas un groupe de Lie réel de type $\{L\}$. (Considérer le sous-groupe K de $\mathbf{U}(E)_s$ formé des endomorphismes unitaires diagonaux dans une base orthonormale fixée de E, et noter que K est compact.)

f) L’application exponentielle n’est pas un homéomorphisme local de L dans $\mathbf{U}(E)_s$. (Considérer sa restriction aux endomorphismes diagonaux dans une base orthonormale fixée.)