Bài tập 4, § 1

Cho G là một nhóm tôpô. Ta nói rằng G là khả tổng nếu tồn tại một dạng tuyến tính $\lambda :\mathscr{C}_b(G;\mathbf{R})\rightarrow \mathbf{R}$ sao cho

(i) Nếu $f\geqslant 0$, thì $\lambda (f)\geqslant 0$.

(ii) Ta có $\lambda (1) = 1$.

(iii) Với mọi $g\in G$ và mọi $f\in \mathscr{C}_b(G;\mathbf{R})$, ta có $\lambda (\boldsymbol{\gamma }(g)f) =\lambda (\boldsymbol{\delta }(g)f)$, trong đó

Nếu G là một nhóm rời rạc, định nghĩa này trùng với định nghĩa trong EVT, IV, p. 73, exerc. 4.

a) Nhóm tôpô G là khả tổng khi và chỉ khi với mọi số nguyên $n\in \mathbf{N}$, mọi họ hữu hạn $(f_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ trong $\mathscr{C}_b(G;\mathbf{R})$, mọi các họ $(g_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ và $(h_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ trong G, mọi số thực $a$, điều kiện

với mọi $x\in G$ kéo theo rằng $a\leqslant 0$. (Để chứng minh rằng điều kiện này là đủ, xét tập hợp các hàm có dạng

và áp dụng định lý Hahn–Banach.)

b) Mọi nhóm tôpô compact đều là khả tổng, mọi nhóm tôpô Abel đều là khả tổng.

c) Cho G là một nhóm tự do không giao hoán. Nhóm rời rạc G không là khả tổng.

d) Với mọi không gian Hilbert E và mọi biểu diễn liên tục bị chặn của G trong E, tồn tại một chuẩn Hilbert $q$ trên E sao cho biểu diễn của G trong không gian Hilbert E được trang bị bởi $q$ là unita.