Exercice 4, § 1

Soit G un groupe topologique. On dit que G est moyennable s’il existe une forme linéaire $\lambda :\mathscr{C}_b(G;\mathbf{R})\rightarrow \mathbf{R}$ telle que

(i) Si $f\geqslant 0$, alors $\lambda (f)\geqslant 0$.

(ii) On a $\lambda (1) = 1$.

(iii) Pour tout $g\in G$ et tout $f\in \mathscr{C}_b(G;\mathbf{R})$, on a $\lambda (\boldsymbol{\gamma }(g)f) =\lambda (\boldsymbol{\delta }(g)f)$, où

Si G est un groupe discret, cette définition coïncide avec celle de EVT, IV, p. 73, exerc. 4.

a) Le groupe topologique G est moyennable si et seulement si pour tout entier $n\in \mathbf{N}$, toute famille finie $(f_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ dans $\mathscr{C}_b(G;\mathbf{R})$, toutes familles $(g_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ et $(h_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ dans G, tout nombre réel $a$, la condition

pour tout $x\in G$ implique que $a\leqslant 0$. (Pour montrer que cette condition est suffisante, considérer l’ensemble des fonctions de la forme

et appliquer le théorème de Hahn–Banach.)

b) Tout groupe topologique compact est moyennable, tout groupe topologique abélien est moyennable.

c) Soit G un groupe libre non commutatif. Le groupe discret G n’est pas moyennable.

d) Pour tout espace hilbertien E et toute représentation continue bornée de G dans E, il existe une norme hilbertienne $q$ sur E telle que la représentation de G dans l’espace hilbertien E muni de $q$ soit unitaire.