Bài tập 6, § 1

a) Cho E là một không gian Banach phức và $u\in \mathscr{L}(E)$. Nếu tồn tại $n\in \mathbf{N}$ sao cho $n\geqslant 1$ và $u^n= 1_E$, thì phổ của $u$ được chứa trong nhóm các căn bậc $n$ của đơn vị và gồm các trị riêng của $u$. b) Cho G là một nhóm tôpô giao hoán sao cho mọi phần tử của G đều có cấp hữu hạn. Mọi biểu diễn bất khả quy liên tục của G trong một không gian Banach đều có chiều 1, và nhận giá trị trong nhóm $\mathbf{U}\subset \mathbf{C}^*$ các số phức có môđun bằng 1.

c) Cho G là một nhóm tôpô giao hoán sao cho tập hợp các phần tử có cấp hữu hạn của G là trù mật trong G. Mọi biểu diễn bất khả quy liên tục của G trong một không gian Banach đều có chiều 1, và nhận giá trị trong nhóm $\mathbf{U}\subset \mathbf{C}^*$ các số phức có môđun bằng 1.