Exercice 6, § 1

a) Soit E un espace de Banach complexe et soit $u\in \mathscr{L}(E)$. S’il existe $n\in \mathbf{N}$ tel que $n\geqslant 1$ et $u^n= 1_E$ alors le spectre de $u$ est contenu dans le groupe des racines $n$-ièmes de l’unité et il est formé de valeurs propres de $u$. b) Soit G un groupe topologique commutatif tel que tout élément de G est d’ordre fini. Toute représentation continue irréductible de G dans un espace de Banach est de dimension 1, et est à valeurs dans le groupe $\mathbf{U}\subset \mathbf{C}^*$ des nombres complexes de module 1.

c) Soit G un groupe topologique commutatif tel que l’ensemble des éléments d’ordre fini de G est dense dans G. Toute représentation continue irréductible de G dans un espace de Banach est de dimension 1, et est à valeurs dans le groupe $\mathbf{U}\subset \mathbf{C}^*$ des nombres complexes de module 1.