Bài tập 7, § 1

Với mọi số nguyên $n\geqslant 1$, ký hiệu $s_n$ là hàm $\mathbf{Z}\rightarrow \mathbf{R}$ được xác định bởi

$(1-k)^{n(1-k)}$ nếu $k\leqslant -1$

$s_n(k) =$ 1 nếu $k= 0$

$(k+ 1)^{-(k+1)/n}$ nếu $k\geqslant 1$.

Ký hiệu S là tập hợp các hàm $s_n$.

a) Với mọi số nguyên $n\geqslant 1$ và mọi $(k_1, k_2)\in \mathbf{Z}^2$, ta có $s_{4n}(k_1)s_{4n}(k_2)\geqslant$ $s_n(k_1+k_2)$.

b) Với $f\in \mathbf{C}$(T), ký hiệu $(a_k(f))_{k\in\mathbf{Z}}$ là các hệ số của khai triển Laurent của $f$ tại 0. Với mọi $s\in S$ và mọi $f\in \mathbf{C}$(T), chuỗi

hội tụ, và các tập hợp

được xác định với $s\in S$ và $\varepsilon >0$, tạo thành một hệ cơ bản các lân cận mở của 0 đối với một tôpô lồi địa phương trên $\mathbf{C}(T)$. Phép nhân $\mathbf{C}(T)\times \mathbf{C}(T)\rightarrow \mathbf{C}(T)$ liên tục đối với tôpô này.

c) Tôpô được xác định trong câu hỏi trước là khả mêtrizable nhưng không đầy đủ.

d) Với $f\in \mathbf{C}(T)^*$, ký hiệu $\varrho (f)$ là ánh xạ $g\mapsto f g$ từ $\mathbf{C}(T)$ vào $\mathbf{C}(T)$. Ánh xạ $\varrho$ là một biểu diễn liên tục của $\mathbf{C}(T)^*$ trong không gian lồi địa phương $\mathbf{C}(T)$.

e) Biểu diễn $\varrho$ là bất khả quy.