Exercice 7, § 1

Pour tout entier $n\geqslant 1$, on note $s_n$ la fonction $\mathbf{Z}\rightarrow \mathbf{R}$ définie par

$(1-k)^{n(1-k)}$ si $k\leqslant -1$

$s_n(k) =$ 1 si $k= 0$

$(k+ 1)^{-(k+1)/n}$ si $k\geqslant 1$.

On note S l’ensemble des fonctions $s_n$.

a) Pour tout entier $n\geqslant 1$ et tout $(k_1, k_2)\in \mathbf{Z}^2$, on a $s_{4n}(k_1)s_{4n}(k_2)\geqslant$ $s_n(k_1+k_2)$.

b) Pour $f\in \mathbf{C}$(T), on note $(a_k(f))_{k\in\mathbf{Z}}$ les coefficients du développement de Laurent de $f$ en 0. Pour tout $s\in S$ et tout $f\in \mathbf{C}$(T), la série

converge, et les ensembles

définis pour $s\in S$ et $\varepsilon >0$, forment un système fondamental de voisinages ouverts de 0 pour une topologie localement convexe sur $\mathbf{C}(T)$. La multiplication $\mathbf{C}(T)\times \mathbf{C}(T)\rightarrow \mathbf{C}(T)$ est continue pour cette topologie.

c) La topologie définie à la question précédente est métrisable mais n’est pas complète.

d) Pour $f\in \mathbf{C}(T)^*$, on note $\varrho (f)$ l’applic<ation $g\mapsto f g$ de $\mathbf{C}(T)$ dans $\mathbf{C}(T)$. L’application $\varrho$ est une représentation continue de $\mathbf{C}(T)^*$ dans l’espace localement convexe $\mathbf{C}(T)$.

e) La représentation $\varrho$ est irréductible.