Bài tập 20, § 2

Cho $G$ là một nhóm compact địa phương đếm được tại vô cực và $H$ là một nhóm con đóng của $G$. Cho $\pi$ là một biểu diễn unita của $H$ trong một không gian Hilbert $E$ và $\varrho$ là biểu diễn unita của $G$ cảm sinh bởi $\pi$. Ký hiệu $F$ là không gian của $\varrho$.

Cố định các độ đo Haar $\mu$ trên $G$ và $\beta$ trên $H$, và cho $\kappa : G\rightarrow \mathbf{R}^*_+$ là một hàm liên tục sao cho $\kappa (xh) = \Delta_H(h)\Delta_G(h)^{-1}\kappa (x)$ với $(x, h)\in G\times H$ và sao cho $\kappa (e) = 1$.

a) Nếu $G/H$ thừa nhận một độ đo $G$-bất biến bị chặn, và nếu tồn tại một vectơ khác không $H$-bất biến $x\in E$, thì tồn tại một vectơ khác không $y\in F$ là $G$-bất biến.

b) Ngược lại, giả sử rằng $y\in F$ là một vectơ $G$-bất biến khác không của $\varrho$. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một hàm khác không $f\in \mathscr{L}_{\overline{\pi}}^2$ sao cho

với mọi $(g, x)\in G^2$. Suy ra rằng $\kappa = 1$, rồi suy ra rằng độ đo $\mu/\beta$ trên $G/H$ được xác định và bị chặn, và cuối cùng rằng $f(e)\in E$ là một vectơ khác không $H$-bất biến.