Bài tập 8, § 2

Giả sử rằng G là một nhóm compact địa phương đơn môđula. Cho Γ là một nhóm con rời rạc của G sao cho không gian thương $X = \Gamma \backslash G$ là compact. Cho $\mu$ là một độ đo Haar trên G và $\beta$ là độ đo đếm trên Γ; viết $\widetilde{\mu}=\mu/\beta$.

Cho $\varrho$ là biểu diễn unita của G trên $L^2(X,\widetilde{\mu})$ được xác định trong ví dụ 3 của V, p. 404.

Với $\gamma \in \Gamma$, ký hiệu $\Gamma_{\gamma}$ (tương ứng $G_{\gamma}$) là nhóm giao hoán tử của $\gamma$ trong Γ (tương ứng G). a) Nhóm $G_{\gamma}$ là đơn môđula.

b) Cho $\varphi \in \mathscr{K}(G)$. Với mọi biểu diễn unita Γ-tự đẳng cấu, tự đồng cấu $\pi (\varphi )$ có vết hữu hạn.

c) Ta có

Tr($\varrho (\varphi )$) $=\sum_{\pi\in\widehat{G}}m_{\pi}(\varrho )$ Tr($\pi (\varphi )$)

trong đó $m_{\pi}(\varrho )$ là bội số của $\pi$ trong $\varrho$ ("phía phổ của công thức vết").

d) Cho $\Gamma^{\sharp}$ là tập hợp các lớp liên hợp của Γ. Với $\gamma \in \Gamma^{\sharp}$, ký hiệu $\beta_{\gamma}$ là độ đo đếm trên $\Gamma_{\gamma}$. Ta có

Tr($\varrho (\varphi )$) $=\sum\int\varphi (x^{-1}\gamma x)d(\mu/\beta_{\gamma})(x)$.

$\gamma \in \Gamma$

e) Cố định một độ đo Haar $\mu_{\gamma}$ trên $G_{\gamma}$ với mọi $\gamma \in \Gamma$. Ta có

Tr($\varrho (\varphi )$) $=\sum\int\int\varphi (x^{-1}y^{-1}\gamma yx)d(\mu_{\gamma}/\beta_{\gamma})(y)d(\mu/\mu_{\gamma})(x)$.

$\in^{\sharp}G_{\gamma}\backslash G\Gamma_{\gamma}\backslash G_{\gamma}$ $\gamma$ Γ

f) Với mọi $\gamma \in \Gamma$, độ đo thương $\mu_{\gamma}/\beta_{\gamma}$ của $\Gamma_{\gamma}\backslash G_{\gamma}$ là hữu hạn. g) Ta có

Tr($\varrho (\varphi )$) $=\sum(\mu_{\gamma}/\beta_{\gamma})(\Gamma_{\gamma}\backslash G_{\gamma})\int\varphi (x^{-1}\gamma x)d(\mu/\mu_{\gamma})(x)$

$\in^{\sharp}G_{\gamma}\backslash G$ $\gamma$ Γ

("phía hình học của công thức vết"; công thức biểu diễn đẳng thức của biểu thức này với biểu thức thu được trong câu c) được gọi là "công thức vết" cho các biểu diễn tự đẳng cấu Γ).

h) Đặt $G =\mathbf{R}$ và $\Gamma =\mathbf{Z}$. Kiểm tra rằng công thức vết trong trường hợp này tương đương với công thức Poisson (xem II, p. 239).