Bài tập 11, § 3

Cho G là một nhóm địa phương compact.

Cho $\varrho$ và $\pi$ là các biểu diễn unita của G. Ta nói rằng $\varrho$ được chứa yếu trong $\pi$, và viết $\varrho \leqslant \pi$, nếu tập hợp các hệ số ma trận đường chéo của $\varrho$ được chứa trong bao đóng của tập hợp các tổng hữu hạn của các hệ số ma trận đường chéo của $\pi$ trong không gian $\mathscr{C}(G)$ được trang bị tôpô hội tụ compact.

a) Quan hệ “ $\varrho$ và $\pi$ là các biểu diễn unita của G và $\varrho \leqslant \pi$ ” là một quan hệ tiền thứ tự. Nếu $\varrho '$ (ứng với $\pi '$) đẳng cấu với $\varrho$ (ứng với $\pi$ ) thì $\varrho \leqslant \pi$ khi và chỉ khi $\varrho '\leqslant \pi '$.

b) Nếu $\varrho$ đẳng cấu với một biểu diễn con của $\pi$, thì $\varrho \leqslant \pi$. Nếu I và J là các tập hợp hữu hạn khác rỗng, và nếu $\varrho \leqslant \pi$, thì $\bigoplus_{i\in I}\varrho \leqslant \bigoplus_{j\in J}\pi$.

c) Cho X là một tập con của không gian E của $\varrho$ sinh ra $\pi$. Ta có $\varrho \leqslant \pi$ khi và chỉ khi mọi hệ số ma trận $g\mapsto \langle x|\varrho (g)x\rangle$ với $x\in X$ thuộc vào bao đóng của tập hợp các tổng hữu hạn của các hệ số ma trận đường chéo của $\pi$ trong không gian $\mathscr{C}(G)$ được trang bị tôpô hội tụ compact. (Bây giờ chứng minh rằng tập hợp Y các phần tử của E thỏa mãn tính chất này là một không gian con vectơ đóng của E.)

d) Cho H là một nhóm con đóng của G. Cho $\pi$ và $\varrho$ là các biểu diễn unita của G sao cho $\varrho \leqslant \pi$; khi đó Res$^G_H(\varrho )\leqslant$ Res$^G_H(\pi )$.

e) Cho H là một nhóm con đóng của G và $\nu$ là một độ đo Haar trên H. Cho $\pi$ và $\varrho$ là các biểu diễn unita của H sao cho $\varrho \leqslant \pi$; khi đó Ind$^G_H(\varrho )\leqslant$ Ind$^G_H(\pi )$. (Đặt $\varrho '=$ Ind$^G_H(\varrho )$ và $\pi '=$ Ind$^G_H(\pi )$; bằng cách dùng câu hỏi c), rút gọn về việc xấp xỉ các hệ số ma trận $g\mapsto \langle f|\varrho '(g)f\rangle$ với $f$ có dạng

trong đó $\varphi \in \mathscr{K}(G)$ và $y$ thuộc không gian của $\varrho .)$