Bài tập 13, § 3

Cho $\varrho$ là một biểu diễn unita bất khả quy của G trong một không gian Hilbert E, và $\pi$ một biểu diễn unita của G trong F. Cho $x\in E$ có chuẩn 1. Giả sử rằng $\varrho \leqslant \pi ($x. bài tập 11).

Gọi $A\subset \mathscr{C}(G)$ là tập các hệ số ma trận đường chéo đã chuẩn hóa của $\pi$, và $\widetilde{A}$ là bao lồi đóng của A trong $L^{\infty}(G)$ đối với tôpô yếu.

Cho $x\in E$ có chuẩn 1 và $f:g\mapsto \langle x|\varrho (g)x\rangle$ là hệ số ma trận đường chéo liên kết.

a) Tập $\widetilde{A}$ là một tập lồi compắc trong $L^{\infty}(G)$ và $f$ là một điểm cực biên của $\widetilde{A}$.

b) Hàm $f$ thuộc bao đóng của A trong $\widetilde{A}$ đối với tôpô yếu.

c) Hàm $f$ thuộc bao đóng của A trong $\mathscr{C}(G)$ được trang bị tôpô hội tụ trên các tập compắc.

d) Biểu diễn tầm thường của G trong $\mathbf{C}$ được chứa yếu trong $\pi$ nếu và chỉ nếu, với mọi tập con compắc C của G và mọi số thực $\varepsilon >0$, tồn tại $x\in F$ có chuẩn 1 sao cho

sup$_{g\in C}\|\pi (g)x-x\|< \varepsilon$.