Bài tập 15, § 3

Cho G là một nhóm compact địa phương, C là một tập con của G và $\varepsilon >0$. Người ta nói rằng $(C, \varepsilon )$ là một cặp Kazhdan của G nếu, với mọi biểu diễn unita $\pi$ của G trong một không gian Hilbert E, sự tồn tại của một vectơ $x\in E$ sao cho

sup$_{g\in C}\|\pi (g)x-x\|< \varepsilon \|x\|$,

suy ra sự tồn tại của một biểu diễn con tầm thường khác không của $\pi$. Người ta nói rằng C là một tập Kazhdan nếu tồn tại $\varepsilon >0$ sao cho $(C, \varepsilon )$ là một cặp Kazhdan.

a) Cho $(C, \varepsilon )$ là một cặp Kazhdan của G. Cho $\pi$ là một biểu diễn unita của G trong một không gian Hilbert E. Cho $x\in E$ là khác không và cho $\delta >0$ sao cho

sup$_{g\in C}\|\pi (g)x-x\|< \delta \varepsilon \|x\|$.

Chứng minh rằng khi đó $\|p(x)-x\|\leqslant \delta \|x\|$, trong đó $p$ là phép chiếu trực giao của E có ảnh là không gian các vectơ bất biến bởi G.

b) Chứng minh rằng một nhóm compact địa phương G có tính chất ]T[ khi và chỉ khi tồn tại một cặp Kazhdan $(C, \varepsilon )$. (Để chứng minh rằng tính chất ]T[ suy ra mệnh đề, hãy tiến hành bằng phản đảo bằng cách xét biểu diễn unita là tổng Hilbert của các biểu diễn $\pi_{C,\varepsilon}$ được tham số hóa bởi một tập con compact C của G và $\varepsilon >0$ sao cho $\pi_{C,\varepsilon}$ không chứa biểu diễn con tầm thường nhưng tồn tại $x_{C,\varepsilon}$ có chuẩn 1 với sup$_{g\in\mathbf{C}}\|\pi (g)x_{C,\varepsilon}-x_{C,\varepsilon}\|< \varepsilon .$)

c) Cho G là một nhóm compact địa phương có tính chất ]T[. Chứng minh rằng mọi tập con compact C của G sinh ra G đều là một tập Kazhdan.

d) Cho G là một nhóm compact địa phương có tính chất ]T[, và cho C là một tập con compact của G có phần trong khác rỗng và là một tập Kazhdan. Chứng minh rằng khi đó C sinh ra G. Đặc biệt, nếu G là rời rạc, thì các tập Kazhdan là các tập con sinh hữu hạn của G. (Nhóm con H của G sinh bởi C là mở; xét biểu diễn chính quy từng phần $\pi$ của G trên $G/H$ và chứng minh rằng phép chiếu của hàm đặc trưng $\varphi$ của $H\in G/H$ lên không gian các vectơ bất biến của $\pi$ là bằng $\varphi .$)