Bài tập 17, § 3

Cho $n\geqslant 2$ là một số nguyên. Xét nhóm Lie thực $G =\mathbf{R}^n\rtimes$ $\mathbf{S}\mathbf{L}(n,\mathbf{R})$, và ký hiệu H là nhóm con $\mathbf{R}^n\times \{e\}$ của G, được đồng nhất với $\mathbf{R}^n$.

Cho $\pi$ là một biểu diễn unita của G trong một không gian Hilbert phức E. Giả sử rằng với mọi tập con compact C của G và mọi $\varepsilon >0$, tồn tại $x\in E$ khác không sao cho

sup$_{g\in C}\|\pi (g)x-x\|< \varepsilon \|x\|$. a) Chứng minh rằng tồn tại một dãy $(x_m)$ các vectơ chuẩn 1 trong E sao cho các hàm $\varphi_m(g) =\langle x_m|\pi (g)x_m\rangle$ hội tụ tới hàm hằng 1 trong $\mathscr{C}(G)$ được trang bị tôpô hội tụ compact. (Xét một dãy $(C_m)_{m\in\mathbf{N}}$ các tập con compact có hợp bằng G, và lấy $x_m$ thỏa mãn điều kiện trên đối với $(C_m,1/(m+ 1)).$)

b) Chứng minh rằng với mọi $m\in \mathbf{N}$, tồn tại một độ đo dương $\mu_m$ có khối lượng toàn phần bằng 1 trên $\mathbf{R}^n$ mà biến đổi Fourier của nó được đồng nhất với hạn chế của $\varphi_m$ lên H. c) Giả sử rằng $\mu_m(\{0\}) = 0$ với mọi $m\in \mathbf{N}$. Khi đó đồng nhất $\mu_m$ với một độ đo dương có khối lượng toàn phần bằng 1 trên $\mathbf{R}^n-\{0\}$, và ký hiệu bởi $\nu_m$ ảnh của độ đo $\mu_m$ trên không gian xạ ảnh $\mathbf{P}_{n-1}(\mathbf{R})$. Chứng minh rằng tồn tại một dãy con $(\nu_{n_k})_{k\in\mathbf{N}}$ hội tụ yếu tới một độ đo dương $\nu$ có khối lượng toàn phần bằng 1 trên $\mathbf{P}_{n-1}(\mathbf{R})$; độ đo $\nu$ là $\mathbf{S}\mathbf{L}(n,\mathbf{R}$)-bất biến. Suy ra một mâu thuẫn.

d) Cho $m\in \mathbf{N}$ sao cho $\mu_m(\{0\})>0$. Đặt $\psi$ là hạn chế của $\varphi_m$ lên H. Chứng minh rằng tồn tại $c >0$ sao cho $\psi =c+\widetilde{\psi}$ trong đó $\widetilde{\psi}$ là một hàm kiểu dương trên $\mathbf{R}^n$. e) Chứng minh rằng biểu diễn $\pi$ chứa các vectơ H-bất biến. (Dùng bài tập 2.) Người ta nói rằng cặp $(G,H)$ có tính chất ]T[ tương đối.