Bài tập 21, § 3

Ta giữ ký hiệu của bài tập trước.

a) Cho $f\in \mathscr{L}^2(G)$ có kiểu dương như một hàm khả tích địa phương. Toán tử bộ phận trên $L^2(G)$ với miền xác định $\mathscr{K}(G)$ được định nghĩa bởi $\varphi \mapsto$ $\boldsymbol{\gamma }(\varphi )f$ là dương. Ta ký hiệu bởi $\varrho (f)$ phép mở rộng Friedrichs của $f$ (ví dụ 8 của IV, p. 295); đó là một toán tử bộ phận tự liên hợp dương trên $L^2(G)$.

b) Cho $f\in \mathscr{L}^2(G)$. Ta nói rằng $f$ là sober nếu tồn tại một số thực $c\geqslant 0$ sao cho $\|\boldsymbol{\gamma }(\varphi )f\|\leqslant c\|\varphi \|$ với mọi $\varphi \in \mathscr{K}(G)\subset \mathscr{L}^2(G)$. Khi đó ta ký hiệu bởi $\varrho (f)$ tự đồng cấu của $L^2(G)$ mở rộng ánh xạ $\varphi \mapsto \boldsymbol{\gamma }(\varphi )f$. Định nghĩa này trùng với định nghĩa trước nếu $f$ có kiểu dương, và khi đó điều kiện này tương đương với việc nói rằng $\varrho (f)$ là dương.

c) Cho $f_1$ và $f_2$ là các hàm sober trong $\mathscr{L}^2(G)$. Nếu $\varrho (f_1) =\varrho (f_2)$, thì $f_1$ và $f_2$ bằng nhau trong $L^2(G)$.

d) Cho $f\in \mathscr{L}^2(G)$ có kiểu dương. Với mọi $g\in G$, ta có $\varrho (f)\circ \boldsymbol{\gamma }(g) =$ $\boldsymbol{\gamma }(g)\circ \varrho (f)$. Hơn nữa với mọi $h\in$ dom($\varrho (f)$), ta có $\varrho (f)h=h*f$.

e) Cho $f_1$ và $f_2$ là các phần tử sober của $\mathscr{L}^2(G)$ sao cho $\varrho (f_1)$ và $\varrho (f_2)$ giao hoán. Hàm $f_1*f_2$ là một hàm liên tục có kiểu dương trên G; nó là sober, và ta có

f) Với ký hiệu và các giả thiết của câu hỏi trước, nếu $f_2-f_1$ có kiểu dương, thì

g) Cho $(f_n)_{n\in\mathbf{N}}$ là một dãy các phần tử sober xác định dương của $\mathscr{L}^2$(G), từng đôi một khả hoán, và sao cho $f_{n+1}-f_n$ có kiểu dương với mọi $n\in \mathbf{N}$. Nếu dãy $(\|f\|_n)$ bị chặn, thì dãy $(f_n)$ hội tụ trong $\mathscr{L}^2(G)$.