Bài tập 17, § 4

Cho G là một nhóm compắc và H là một nhóm con đóng của G. Cho $\varrho$ là một biểu diễn unita của H trong một không gian Hilbert hữu hạn chiều E. a) Cho $\pi \in \widehat{G}$. Không gian Hom$_G(\pi$, Ind$^G_H(\varrho ))$ có số chiều hữu hạn.

b) Với mọi $u\in$ Hom$_G(\pi$, Ind$^G_H(\varrho ))$, ảnh của $u$ được chứa trong ảnh của $\mathscr{C}(G; E)$ trong $L^2(G; E)$.

c) Tồn tại một ánh xạ tuyến tính Φ từ không gian Hom$_G(\pi$, Ind$^G_H(\varrho ))$ vào không gian Hom$_H$(Res$^G_H(\pi ), \varrho$ ) sao cho, với mọi $u\in$ Hom$_G(\pi$, Ind$^G_H(\varrho ))$ và mọi $x\in E_{\pi}, \Phi (u)(x)$ là giá trị tại $e$ của hàm liên tục biểu diễn $u(x)$ d) Ánh xạ tuyến tính Φ là một đẳng cấu.

e) Giả sử rằng $\varrho$ là bất khả quy. Bội số của $\pi$ trong Ind$^G_H(\varrho )$ bằng bội số của $\varrho$ trong Res$^G_H(\pi )$ ("công thức tương hỗ Frobenius", xem A, VIII, p. 392).